puntos de inflexión de f(x)=x^4-54x^2+1

1) Para

x^{4} - 54 x^{2} + 1

en ℝ, busquemos dónde la segunda derivada se anula y cambia de signo

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x^{4} - 54 x^{2} + 1)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{4} - 54 x^{2} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + 0

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (- 54 x^{2})

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 54 x^{2})

-54 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

⇥

4 x^{3} - 54 \cdot 2 x

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

54 \cdot 2

(50 + 4) \cdot 2

50 \cdot 2 + 4 \cdot 2

100 + 8

108

⇥

4 x^{3} - 108 x

La primera derivada es

4 x^{3} - 108 x

⇥1.2) Derivemos:

\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 108 x)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 108 x)

\frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 108 x)

⇥

\frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 108 x)

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 108 x)

-108

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

4 \cdot 3 x^{2} - 108

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 3

12

⇥

12 x^{2} - 108

⇥Extraemos

12

, el máximo común divisor de los coeficientes:

12 x^{2} - 108

12 \cdot (x^{2} - 9)

⇥Factor encontrado:

x^{2} - 9

La segunda derivada es

12 \cdot (x^{2} - 9)

⇥1.3) Resolvamos en

ℝ

12 \cdot (x^{2} - 9) = 0

⇥Simplificamos la expresión por

12

⇥⇥Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 9 = 0

⇥⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

9

son

-3

3

⇥⇥Soluciones obtenidas:

x = {-3; 3}

⇥1.4) Derivemos:

\frac{d}{d x} (12 \cdot (x^{2} - 9))

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (12 \cdot (x^{2} - 9))

12 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

12 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0)

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

12 \cdot 2 x

⇥ⅰ

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

⇥

24 x

x = -3

, el cero de la segunda derivada es de orden 1: este orden es impar, por lo que cambia la convexidad

Cerca de

-3

, la segunda derivada es positiva a la izquierda y negativa a la derecha: la curva pasa de convexa a cóncava

⇥

{(-3)}^{4} - 54 \cdot {(-3)}^{2} + 1

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-3)}^{4}

(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)

81

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

⇥

81 - 54 \cdot 9 + 1

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

54 \cdot 9

(50 + 4) \cdot 9

50 \cdot 9 + 4 \cdot 9

450 + 36

486

⇥

81 - 486 + 1

⇥ⓘ Partimos de

81

y retrocedemos

486

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

81 - 486

-405

⇥

- 405 + 1

⇥ⓘ Partimos de

-405

y avanzamos

1

en la recta numérica, acercándonos al cero:

- 405 + 1

-404

⇥

-404

La ordenada es f(

-3

) =

-404

⇥1.5) Derivemos:

\frac{d}{d x} (12 \cdot (x^{2} - 9))

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (12 \cdot (x^{2} - 9))

12 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

12 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0)

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

12 \cdot 2 x

⇥ⅰ

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

⇥

24 x

x = 3

, el cero de la segunda derivada es de orden 1: este orden es impar, por lo que cambia la convexidad

Cerca de

3

, la segunda derivada es negativa a la izquierda y positiva a la derecha: la curva pasa de cóncava a convexa

⇥

3^{4} - 54 \cdot 3^{2} + 1

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{4}

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

81

3^{2}

3 \cdot 3

9

⇥

81 - 54 \cdot 9 + 1

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

54 \cdot 9

(50 + 4) \cdot 9

50 \cdot 9 + 4 \cdot 9

450 + 36

486

⇥

81 - 486 + 1

⇥ⓘ Partimos de

81

y retrocedemos

486

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

81 - 486

-405

⇥

- 405 + 1

⇥ⓘ Partimos de

-405

y avanzamos

1

en la recta numérica, acercándonos al cero:

- 405 + 1

-404

⇥

-404

La ordenada es f(

3

) =

-404

▶Puntos de inflexión:

{(-3; -404); (3; -404)}

🖼/draw?f1=x%5E4+-+54*x%5E2+%2B+1&v=x&b=-6.0&e=6.0&min=-800.7458071039999&max=73.885982464&points=-3%2C-404%3B3%2C-404