puntos de inflexión de x^3+2x^2+x-7

1) Para

x^{3}

+ 2 x^{2}

+ x

- 7

en ℝ, busquemos dónde la segunda derivada se anula y cambia de signo

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x^{2} + x - 7)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x^{2} + x - 7)

\frac{d}{d x} (x^{3})

+ \frac{d}{d x} (2 x^{2})

+ 1

+ 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{3})

+ \frac{d}{d x} (2 x^{2})

+ 1

+ 0

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

⇥

3 x^{2} + 2 \cdot 2 x + 1

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 2

4

⇥

3 x^{2} + 4 x + 1

La primera derivada es

3 x^{2} + 4 x + 1

⇥1.2) Derivemos:

\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 4 x + 1)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 4 x + 1)

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + 0

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (4 x)

4

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (4 x) + 0

\frac{d}{d x} (4 x)

⇥

3 \cdot 2 x + 4

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 2

6

⇥

6 x + 4

La segunda derivada es

6 x + 4

⇥1.3) Resolvamos en

ℝ

6 x + 4 = 0

⇥ⓘ Restamos

4

a ambos miembros

⇥

6 x = -4

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

6

⇥

x = - \frac{4}{6}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{4}{6}

- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}

- \frac{2}{3}

⇥Solución obtenida:

x = - \frac{2}{3}

⇥1.4) Derivemos:

\frac{d}{d x} (6 x + 4)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (6 x + 4)

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

\frac{d}{d x} (6 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (6 x)

6

⇥

6

x = - \frac{2}{3}

, el cero de la segunda derivada es de orden 1: este orden es impar, por lo que cambia la convexidad

Cerca de

- \frac{2}{3}

, la segunda derivada es negativa a la izquierda y positiva a la derecha: la curva pasa de cóncava a convexa

⇥

{(- \frac{2}{3})}^{3}

+ 2 \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2}

- \frac{2}{3}

- 7

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- \frac{2}{3} - 7

\frac{- 2 - 7 \cdot 3}{3}

⇥

{(- \frac{2}{3})}^{3} + 2 \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} + \frac{- 2 - 7 \cdot 3}{3}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

7 \cdot 3

21

⇥

{(- \frac{2}{3})}^{3} + 2 \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} + \frac{- 2 - 21}{3}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 2 - 21

-23

⇥

{(- \frac{2}{3})}^{3} + 2 \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} - \frac{23}{3}

⇥ⓘ La potencia de un cociente es el cociente de las potencias,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(- \frac{2}{3})}^{3}

\frac{{(-2)}^{3}}{3^{3}}

{(- \frac{2}{3})}^{2}

\frac{{(-2)}^{2}}{3^{2}}

⇥

\frac{{(-2)}^{3}}{3^{3}} + 2 \cdot \frac{{(-2)}^{2}}{3^{2}} - \frac{23}{3}

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

3^{2}

3 \cdot 3

9

⇥

- \frac{8}{27} + 2 \cdot \frac{4}{9} - \frac{23}{3}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{4}{9}

\frac{2 \cdot 4}{9}

\frac{8}{9}

⇥

- \frac{8}{27} + \frac{8}{9} - \frac{23}{3}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores. Elegimos

27

, el mínimo común múltiplo de

27

9

. Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número no cambia la fracción:

- \frac{8}{27} + \frac{8}{9}

- \frac{8}{27} + \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3}

\frac{- 8 + 8 \cdot 3}{27}

⇥

\frac{- 8 + 8 \cdot 3}{27} - \frac{23}{3}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

8 \cdot 3

24

⇥

\frac{- 8 + 24}{27} - \frac{23}{3}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 8 + 24

16

⇥

\frac{16}{27} - \frac{23}{3}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores. Elegimos

27

, el mínimo común múltiplo de

27

3

. Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número no cambia la fracción:

\frac{16}{27} - \frac{23}{3}

\frac{16}{27} + \frac{-23 \cdot 9}{3 \cdot 9}

\frac{16 - 23 \cdot 9}{27}

⇥

\frac{16 - 23 \cdot 9}{27}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

23 \cdot 9

(20 + 3) \cdot 9

20 \cdot 9 + 3 \cdot 9

180 + 27

207

⇥

\frac{16 - 207}{27}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

16 - 207

-191

⇥

- \frac{191}{27}

La ordenada es f(

- \frac{2}{3}

) =

- \frac{191}{27}

▶Puntos de inflexión:

{(- \frac{2}{3}; - \frac{191}{27})}

🖼/draw?f1=x%5E3+%2B+2*x%5E2+%2B+x+-+7&v=x&b=-2.6666666666666665&e=1.3333333333333335&min=-15.87407407407407&max=1.7259259259259279&points=-2%2F3%2C-191%2F27