resuelve |(2-3x)/(1+x)|>1 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

| \frac{2 - 3 x}{1 + x} | > 1

| A | > B

deducimos:

A > B

A < - B

2) Resolvamos en

ℝ

\frac{2 - 3 x}{1 + x} > 1

3) Sumemos las fracciones:

\frac{2 - 3 x}{1 + x} - 1 > 0

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{2 - 3 x}{1 + x} - 1

\frac{(2 - 3 x) - 1 \cdot (1 + x)}{1 + x}

\frac{(2 - 3 x) - 1 \cdot (1 + x)}{1 + x} > 0

ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot (1 + x)

- (1 + x)

\frac{2 - 3 x - (1 + x)}{1 + x} > 0

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (1 + x)

- 1 - x

\frac{2 - 3 x - 1 - x}{1 + x} > 0

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

2 - 1

1

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 3 x - x

-4 x

\frac{1 - 4 x}{1 + x} > 0

Estudiamos el signo del numerador

⇥La expresión

1 - 4 x

se anula en:

⇥

x = \frac{-1}{-4}

⇥ⓘ Los signos menos del numerador y del denominador se cancelan:

\frac{-1}{-4}

\frac{1}{4}

⇥

x = \frac{1}{4}

⇥Como su coeficiente de

x

-4

, es negativo, es positiva antes y negativa después de

\frac{1}{4}

Estudiamos el signo del denominador, que no debe anularse

⇥La expresión

1 + x

se anula en

x = -1

(valor excluido) y es negativa antes y positiva después

4) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$-1$		$\frac{1}{4}$		$+∞$
$1 - 4 x$		+		+	0	-
$1 + x$		-	0	+		+
$\frac{2 - 3 x}{1 + x} - 1$		-	❌	+	0	-

Candidatos, sujetos al dominio:

x \in] -1; \frac{1}{4} [

5) Resolvamos en

ℝ

\frac{2 - 3 x}{1 + x} < -1

6) Sumemos las fracciones:

\frac{2 - 3 x}{1 + x} + 1 < 0

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{2 - 3 x}{1 + x} + 1

\frac{(2 - 3 x) + (1 + x)}{1 + x}

\frac{(2 - 3 x) + (1 + x)}{1 + x} < 0

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

2 + 1

3

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 3 x + x

-2 x

\frac{3 - 2 x}{1 + x} < 0

Estudiamos el signo del numerador

⇥La expresión

3 - 2 x

se anula en:

⇥

x = \frac{-3}{-2}

⇥ⓘ Los signos menos del numerador y del denominador se cancelan:

\frac{-3}{-2}

\frac{3}{2}

⇥

x = \frac{3}{2}

⇥Como su coeficiente de

x

-2

, es negativo, es positiva antes y negativa después de

\frac{3}{2}

Estudiamos el signo del denominador, que no debe anularse

⇥La expresión

1 + x

se anula en

x = -1

(valor excluido) y es negativa antes y positiva después

7) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$-1$		$\frac{3}{2}$		$+∞$
$3 - 2 x$		+		+	0	-
$1 + x$		-	0	+		+
$\frac{2 - 3 x}{1 + x} + 1$		-	❌	+	0	-

Candidatos, sujetos al dominio:

x \in] -∞; -1 [\cup] \frac{3}{2}; +∞ [

8) Determinemos el dominio de

| \frac{2 - 3 x}{1 + x} | > 1

Para que la expresión

\frac{2 - 3 x}{1 + x}

esté definida, debe cumplirse:

1 + x \neq 0

ⓘ Restamos

1

a ambos miembros

Restricciones del dominio:

x \neq -1

▶Solución:

x \in] -∞; -1 [\cup] -1; \frac{1}{4} [\cup] \frac{3}{2}; +∞ [

9) El valor numérico de:

x \in] -∞; -1 [\cup] -1; \frac{1}{4} [\cup] \frac{3}{2}; +∞ [

es:

▷

x \in] -∞; -1 [\cup] -1; 0,25 [\cup] 1,5; +∞ [