resuelve |(x-2)/(3x+5)|<= 4 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

| \frac{x - 2}{3 x + 5} | \leq 4

| A | \leq B

equivale a

- B \leq A \leq B

2) Resolvamos en

ℝ

\frac{x - 2}{3 x + 5} \leq 4

3) Sumemos las fracciones:

\frac{x - 2}{3 x + 5} - 4 \leq 0

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{x - 2}{3 x + 5} - 4

\frac{(x - 2) - 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5}

\frac{(x - 2) - 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5} \leq 0

\frac{x - 2 - 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5} \leq 0

Estudiamos el signo del numerador

Estudiemos el signo de

x - 2 - 4 \cdot (3 x + 5)

resolviendo en

ℝ

x - 2 - 4 \cdot (3 x + 5) \leq 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- 4 \cdot (3 x + 5)

- (12 x + 20)

x - 2 - (12 x + 20) \leq 0

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (12 x + 20)

- 12 x - 20

x

- 2

- 12 x

- 20 \leq 0

ⓘ Partimos de

-2

y retrocedemos otros

20

en la recta numérica, alejándonos del cero:

- 2 - 20

-22

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x - 12 x

-11 x

- 11 x - 22 \leq 0

ⓘ Sumamos

22

a ambos miembros

- 11 x \leq 22

Dividimos ambos miembros por

-11

, que es negativo, por lo que invertimos el sentido de la desigualdad

x \geq \frac{22}{-11}

ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{22}{-11}

- \frac{22}{11}

x \geq - \frac{22}{11}

Simplificamos la fracción

\frac{22}{11}

por el factor común

11

para obtener la nueva expresión:

2

Candidatos, sujetos al dominio:

x \geq -2

⇥Por tanto, la expresión

x - 2 - 4 \cdot (3 x + 5)

es negativa o nula en

[-2; +∞ [

y positiva en los demás puntos

Estudiamos el signo del denominador, que no debe anularse

⇥La expresión

3 x + 5

se anula en:

⇥

x = - \frac{5}{3}

⇥Como su coeficiente de

x

3

, es positivo, es negativa antes y positiva después de

- \frac{5}{3}

(valor excluido)

4) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$-2$		$- \frac{5}{3}$		$+∞$
$x - 2 - 4 \cdot (3 x + 5)$		+	0	-		-
$3 x + 5$		-		-	0	+
$\frac{x - 2}{3 x + 5} - 4$		-	0	+	❌	-

Candidatos, sujetos al dominio:

x \in] -∞; -2] \cup] - \frac{5}{3}; +∞ [

5) Resolvamos en

ℝ

\frac{x - 2}{3 x + 5} \geq -4

6) Sumemos las fracciones:

\frac{x - 2}{3 x + 5} + 4 \geq 0

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{x - 2}{3 x + 5} + 4

\frac{(x - 2) + 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5}

\frac{(x - 2) + 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5} \geq 0

\frac{x - 2 + 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5} \geq 0

Estudiamos el signo del numerador

Estudiemos el signo de

x - 2 + 4 \cdot (3 x + 5)

resolviendo en

ℝ

x - 2 + 4 \cdot (3 x + 5) \geq 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

4 \cdot (3 x + 5)

12 x + 20

x

- 2

+ 12 x

+ 20 \geq 0

ⓘ Partimos de

-2

y avanzamos

20

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 2 + 20

18

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x + 12 x

13 x

13 x + 18 \geq 0

13 x \geq -18

ⓘ Dividimos ambos miembros por

13

Candidatos, sujetos al dominio:

x \geq - \frac{18}{13}

⇥Por tanto, la expresión

x - 2 + 4 \cdot (3 x + 5)

es positiva o nula en

[- \frac{18}{13}; +∞ [

y negativa en los demás puntos

Estudiamos el signo del denominador, que no debe anularse

⇥La expresión

3 x + 5

se anula en:

⇥

x = - \frac{5}{3}

⇥Como su coeficiente de

x

3

, es positivo, es negativa antes y positiva después de

- \frac{5}{3}

(valor excluido)

7) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$- \frac{5}{3}$		$- \frac{18}{13}$		$+∞$
$x - 2 + 4 \cdot (3 x + 5)$		-		-	0	+
$3 x + 5$		-	0	+		+
$\frac{x - 2}{3 x + 5} + 4$		+	❌	-	0	+

Candidatos, sujetos al dominio:

x \in] -∞; - \frac{5}{3} [\cup [- \frac{18}{13}; +∞ [

Construyamos la tabla de las distintas soluciones para encontrar la solución global:

$x$	$-∞$		$-2$		$- \frac{5}{3}$		$- \frac{18}{13}$		$+∞$
$\frac{x - 2}{3 x + 5} \geq -4$		✅	✅	✅	❌	❌	✅	✅
$\frac{x - 2}{3 x + 5} \leq 4$		✅	✅	❌	❌	✅	✅	✅
Solución global		✅	✅	❌	❌	❌	✅	✅

Candidatos, sujetos al dominio:

x \in] -∞; -2] \cup [- \frac{18}{13}; +∞ [

8) Determinemos el dominio de

| \frac{x - 2}{3 x + 5} | \leq 4

Para que la expresión

\frac{x - 2}{3 x + 5}

esté definida, debe cumplirse:

3 x + 5 \neq 0

ⓘ Restamos

5

a ambos miembros

3 x \neq -5

ⓘ Dividimos ambos miembros por

3

Restricciones del dominio:

x \neq - \frac{5}{3}

▶Solución:

x \in] -∞; -2] \cup [- \frac{18}{13}; +∞ [

9) El valor numérico de:

x \in] -∞; -2] \cup [- \frac{18}{13}; +∞ [

es:

▷

x \in] -∞; -2] \cup [\approx -1,3846; +∞ [