resuelve dy/dx=x*sqrt(x^2-1)/y — solución paso a paso

⚠ dy/dx en una ecuación se interpreta como la derivada y' respecto a x: para un cociente de productos, escribe (d*y)/(d*x)

1) Resolvamos la ecuación separable

y' = x \cdot \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{y}

, donde

y

es una función de

x

y \neq 0

⇥1.1) Busquemos el dominio de

x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}

⇥ Para que la expresión

\sqrt{x^{2} - 1}

esté definida, debe cumplirse:

x^{2} - 1 \geq 0

⇥Una potencia par solo depende del valor absoluto:

x^{2} \geq 1

equivale a

| x | \geq 1

⇥

| A | \geq B

implica:

A \geq B

A \leq - B

⇥Solución obtenida:

x \in] -∞; -1] \cup [1; +∞ [

La función de

x

está definida para

x \in] -∞; -1] \cup [1; +∞ [

Multiplicamos por

y

y separamos las variables:

y \cdot dy = x \cdot \sqrt{x^{2} - 1} \cdot dx

⇥1.2) Integremos:

\int x \cdot \sqrt{x^{2} - 1} d x

⇥Hacemos

u = x^{2} - 1

. Entonces

du = 2 x \cdot dx

, por lo que

x \cdot dx = \frac{du}{2}

⇥

\int x \cdot \sqrt{x^{2} - 1} d x = \frac{1}{2} \cdot \int \sqrt{u} d u

⇥Una primitiva de

\sqrt{u}

\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

⇥Sustituimos

u

por

x^{2} - 1

en la primitiva

⇥ⅰ

\int x \cdot \sqrt{x^{2} - 1} d x

\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}

⇥

\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}

Al integrar ambos miembros, obtenemos

\frac{y^{2}}{2} = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C

, donde

C

es una constante real arbitraria

Multiplicamos por

2

y renombramos

2 C

como

C

y^{2} = \frac{2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C

Las dos ramas reales tienen signo fijo en cada intervalo donde el segundo miembro inicial es real y

\frac{2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C

> 0, por lo que

y

= 0 queda excluido

▶Solución:

y = {- \sqrt{\frac{2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C}; \sqrt{\frac{2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C}}