simplifica (1+3i)/(3+i) — solución paso a paso

1) Simplifiquemos:

\frac{1 + 3 i}{3 + i}

ⓘ Para que el denominador sea real, multiplicamos el numerador y el denominador por su conjugado, ya que

(a + b i) \times (a - b \times i) = a^{2} + b^{2}

\frac{1 + 3 i}{3 + i}

\frac{(1 + 3 i) \times (3 - i)}{3^{2} + 1}

\frac{(1 + 3 i) \times (3 - i)}{3^{2} + 1}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{2}

3 \times 3

9

\frac{(1 + 3 i) \times (3 - i)}{9 + 1}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

9 + 1

10

\frac{(1 + 3 i) \times (3 - i)}{10}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(1 + 3 i) \times (3 - i)

1 \times 3

+ 1 \times (- i)

+ 3 \times i \times 3

+ 3 \times i \times (- i)

\frac{1 \times 3 + 1 \times (- i) + 3 \times i \times 3 + 3 \times i \times (- i)}{10}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \times 3

9

■Colocamos el signo menos delante del producto:

3 \times (- i)

-3 i

\frac{3 - i + 9 i - 3 \times i \times i}{10}

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- i + 9 i

8 i

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

i \times i

i^{2}

\frac{3 + 8 i - 3 i^{2}}{10}

ⓘ

i^{2} = -1

, por lo que las potencias enteras de i se reducen a

1

i

-1

- i

i^{2}

-1

■Multiplicar por -1 da el opuesto:

- 3 \times (-1)

3

\frac{3 + 8 i + 3}{10}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

3 + 3

6

\frac{6 + 8 i}{10}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{6 + 8 i}{10}

\frac{3 + 4 i}{5}

\frac{3 + 4 i}{5}

ⓘ Un número complejo se escribe en forma binómica

a + b i

, donde

a

es su parte real y

b

su parte imaginaria:

\frac{3 + 4 i}{5}

\frac{3}{5} + \frac{4}{5} \times i

▶Forma simplificada:

\frac{3}{5} + \frac{4}{5} \times i

2) El valor numérico de:

\frac{3}{5} + \frac{4}{5} \times i

vale:

▷

0,6 + 0,8 i