Los denominadores iniciales deben ser no nulos: $n\ne 0$

Reduzcamos: ${(1+\frac{i}{n})}^3$

Utilizando la fórmula del binomio de Newton: ${(a+b)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\frac{n!}{k!(n-k)!}\right)a^{n-k}{b}^k$, desarrollamos la expresión matemática:

ⅰ ${(1+\frac{i}{n})}^3$ = $\frac{3!}{3!·0!}·1^3·{\left(\frac{i}{n}\right)}^0$$+\frac{3!}{2!·1!}·1^2·{\left(\frac{i}{n}\right)}^1$$+\frac{3!}{1!·2!}·1^1·{\left(\frac{i}{n}\right)}^2$$+\frac{3!}{0!·3!}·1^0·{\left(\frac{i}{n}\right)}^3$

$\frac{3!}{3!·0!}·1^3·{\left(\frac{i}{n}\right)}^0$$+\frac{3!}{2!·1!}·1^2·{\left(\frac{i}{n}\right)}^1$$+\frac{3!}{1!·2!}·1^1·{\left(\frac{i}{n}\right)}^2$$+\frac{3!}{0!·3!}·1^0·{\left(\frac{i}{n}\right)}^3$

ⓘ Todo número no nulo elevado a 0 vale 1. En este cálculo, adoptamos la convención $0^0=1$: ${\left(\frac{i}{n}\right)}^0$ = $1$■Todo número no nulo elevado a 0 vale 1: $1^0$ = $1$

$\frac{3!}{3!·0!}$$+\frac{3!}{2!·1!}·\frac{i}{n}$$+\frac{3!}{1!·2!}·{\left(\frac{i}{n}\right)}^2$$+\frac{3!}{0!·3!}·{\left(\frac{i}{n}\right)}^3$

ⓘ El factorial de un entero estrictamente positivo es el producto de todos los enteros desde 1 hasta ese entero: $3!$ = $6$, $2!$ = $2$, $1!$ = $1$■Por convenio, el factorial de 0 vale 1: $0!$ = $1$■Multiplicar por 1 no cambia nada: $6·1$ = $6$, $2·1$ = $2$, $1·2$ = $2$, $1·6$ = $6$

$\frac{6}{6}$$+\frac{6}{2}·\frac{i}{n}$$+\frac{6}{2}·{\left(\frac{i}{n}\right)}^2$$+\frac{6}{6}·{\left(\frac{i}{n}\right)}^3$

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por $6$, su máximo común divisor: $\frac{6}{6}$ = $1$■Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por $2$, su máximo común divisor: $\frac{6}{2}$ = $3$■Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador: $3·\frac{i}{n}$ = $\frac{3i}{n}$■Multiplicar por 1 no cambia nada: $1·{\left(\frac{i}{n}\right)}^3$ = ${\left(\frac{i}{n}\right)}^3$

$1$$+\frac{3i}{n}$$+3·{\left(\frac{i}{n}\right)}^2$$+{\left(\frac{i}{n}\right)}^3$

ⓘ La potencia de un cociente es el cociente de las potencias, ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$: ${\left(\frac{i}{n}\right)}^2$ = $\frac{i^2}{n^2}$, ${\left(\frac{i}{n}\right)}^3$ = $\frac{i^3}{n^3}$

$1$$+\frac{3i}{n}$$+3·\frac{i^2}{n^2}$$+\frac{i^3}{n^3}$

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador: $3·\frac{i^2}{n^2}$ = $\frac{3i^2}{n^2}$■$i^2=-1$, por lo que las potencias enteras de i se reducen a $1$, $i$, $-1$ o $-i$: $i^2$ = $-1$, $i^3$ = $-i$■Multiplicar por -1 da el opuesto: $3·\left(-1\right)$ = $-3$

$1$$+\frac{3i}{n}$$-\frac{3}{n^2}$$-\frac{i}{n^3}$

▶Forma simplificada:   $-\frac{3}{n^2}+1+i·(\frac{3}{n}-\frac{1}{n^3})$