simplifica (3+i)/(4+i) — solución paso a paso

1) Simplifiquemos:

\frac{3 + i}{4 + i}

ⓘ Para que el denominador sea real, multiplicamos el numerador y el denominador por su conjugado, ya que

(a + b i) \times (a - b \times i) = a^{2} + b^{2}

\frac{3 + i}{4 + i}

\frac{(3 + i) \times (4 - i)}{4^{2} + 1}

\frac{(3 + i) \times (4 - i)}{4^{2} + 1}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

4^{2}

4 \times 4

16

\frac{(3 + i) \times (4 - i)}{16 + 1}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

16 + 1

17

\frac{(3 + i) \times (4 - i)}{17}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(3 + i) \times (4 - i)

3 \times 4

+ 3 \times (- i)

+ i \times 4

+ i \times (- i)

\frac{3 \times 4 + 3 \times (- i) + i \times 4 + i \times (- i)}{17}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \times 4

12

■Colocamos el signo menos delante del producto:

3 \times (- i)

- 3 i

i \times (- i)

- i \times i

\frac{12 - 3 i + i \times 4 - i \times i}{17}

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 3 i + i \times 4

i

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

i \times i

i^{2}

\frac{12 + i - i^{2}}{17}

ⓘ

i^{2} = -1

, por lo que las potencias enteras de i se reducen a

1

i

-1

- i

- i^{2}

- (-1)

\frac{12 + i - (-1)}{17}

ⓘ Restar un número negativo equivale a sumar su opuesto: dos signos menos dan un más:

- (-1)

1

\frac{12 + i + 1}{17}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

12 + 1

13

\frac{13 + i}{17}

ⓘ Un número complejo se escribe en forma binómica

a + b i

, donde

a

es su parte real y

b

su parte imaginaria:

\frac{13 + i}{17}

\frac{13}{17} + \frac{1}{17} \times i

▶Forma simplificada:

\frac{13}{17} + \frac{1}{17} \times i

2) El valor numérico de:

\frac{13}{17} + \frac{1}{17} \times i

vale:

▷

\approx 0,7647 + \approx 5,8824 \times 10^{- 2} \times i