simplifica ((4-i))/((3+4i)) — solución paso a paso

1) Reduzcamos:

\frac{4 - i}{3 + 4 i}

ⓘ Para que el denominador sea real, multiplicamos el numerador y el denominador por su conjugado, ya que

(a + b i) \times (a - b \times i) = a^{2} + b^{2}

\frac{4 - i}{3 + 4 i}

\frac{(4 - i) \times (3 - 4 i)}{3^{2} + 4^{2}}

\frac{(4 - i) \times (3 - 4 i)}{3^{2} + 4^{2}}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{2}

3 \times 3

9

4^{2}

4 \times 4

16

\frac{(4 - i) \times (3 - 4 i)}{9 + 16}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

9 + 16

25

\frac{(4 - i) \times (3 - 4 i)}{25}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(4 - i) \times (3 - 4 i)

4 \times 3

+ 4 \times (-4) \times i

- i \times 3

- i \times (-4) \times i

\frac{4 \times 3 + 4 \times (-4) \times i - i \times 3 - i \times (-4) \times i}{25}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \times 3

12

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

4 \times (-4)

-16

■Dos signos menos se cancelan:

- i \times (-4)

4 i

\frac{12 - 16 i - i \times 3 + 4 \times i \times i}{25}

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 16 i - i \times 3

-19 i

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

i \times i

i^{2}

\frac{12 - 19 i + 4 i^{2}}{25}

ⓘ

i^{2} = -1

, por lo que las potencias enteras de i se reducen a

1

i

-1

- i

i^{2}

-1

■Multiplicar por -1 da el opuesto:

4 \times (-1)

-4

\frac{12 - 19 i - 4}{25}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

12 - 4

8

\frac{8 - 19 i}{25}

ⓘ Un número complejo se escribe en forma binómica

a + b i

, donde

a

es su parte real y

b

su parte imaginaria:

\frac{8 - 19 i}{25}

\frac{8}{25} - \frac{19}{25} \times i

▶Forma simplificada:

\frac{8}{25} - \frac{19}{25} \times i

2) El valor numérico de:

\frac{8}{25} - \frac{19}{25} \times i

vale:

▷

0,32 - 0,76 i