simplifica (m^2)/(m^2-4)+1/(2-m)

Los denominadores iniciales deben ser no nulos:

m \in ℝ \ {-2; 2}

1) Sumemos las fracciones:

\frac{m^{2}}{m^{2} - 4} + \frac{1}{2 - m}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{m^{2}}{m^{2} - 4} + \frac{1}{2 - m}

\frac{m^{2} \cdot (2 - m) + (m^{2} - 4)}{(m^{2} - 4) \cdot (2 - m)}

\frac{m^{2} \cdot (2 - m) + (m^{2} - 4)}{(m^{2} - 4) \cdot (2 - m)}

ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{m^{2} \cdot (2 - m) + m^{2} - 4}{(m^{2} - 4) \cdot (2 - m)}

\frac{(- m + 2) \cdot (m^{2} - 1 \cdot (2 + m))}{(m^{2} - 4) \cdot (2 - m)}

\frac{(- m + 2) \cdot (m^{2} - 1 \cdot (2 + m))}{(m^{2} - 4) \cdot (2 - m)}

Aplicando la fórmula

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, simplificamos la fracción

\frac{- m + 2}{m^{2} - 4}

por el factor común

- m + 2

para obtener la nueva fracción:

\frac{1}{- m - 2}

\frac{m^{2} - 1 \cdot (2 + m)}{(- m - 2) \cdot (2 - m)}

ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot (2 + m)

- (2 + m)

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- m - 2

- (m + 2)

\frac{m^{2} - (2 + m)}{- (m + 2) \cdot (2 - m)}

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (2 + m)

- 2 - m

\frac{m^{2} - 2 - m}{- (m + 2) \cdot (2 - m)}

ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{m^{2} - 2 - m}{- (m + 2) \cdot (2 - m)}

- \frac{m^{2} - 2 - m}{(m + 2) \cdot (2 - m)}

- \frac{m^{2} - 2 - m}{(m + 2) \cdot (2 - m)}

2) Factoricemos en

ℝ

m^{2} - 2 - m

Dada la forma cuadrática

a m^{2} + b m + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -1

c = -2

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-2)

8

Δ = 1 + 8

ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

8

en la recta numérica:

1 + 8

9

Δ = 9

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

m_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

m_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

m_{1} = \frac{1 - 3}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 - 3

-2

m_{1} = - \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{2}{2}

-1

m_{1} = -1

La fórmula de segundo grado da

m_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

m_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

m_{2} = \frac{1 + 3}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 3

4

m_{2} = \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{4}{2}

2

m_{2} = 2

Factores encontrados:

(m + 1) \cdot (m - 2)

Simplificamos la fracción

\frac{m - 2}{2 - m}

por el factor común

m - 2

para obtener la nueva expresión:

-1

- \frac{m + 1}{(m + 2) \cdot (-1)}

ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

(m + 2) \cdot (-1)

- (m + 2)

- \frac{m + 1}{- (m + 2)}

ⓘ Dos signos menos se cancelan:

- \frac{m + 1}{- (m + 2)}

\frac{m + 1}{m + 2}

▶Resultado:

\frac{m + 1}{m + 2}