simplifica (n^2-n-12)/(n^2-4n) — solución paso a paso

Los denominadores iniciales deben ser no nulos:

n \in ℝ \ {0; 4}

1) Reduzcamos:

\frac{n^{2} - n - 12}{n^{2} - 4 n}

2) Factoricemos en

ℝ

n^{2} - n - 12

Dada la forma cuadrática

a n^{2} + b n + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -1

c = -12

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-12)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-12)

4 \cdot 12

4 \cdot (10 + 2)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 2

40 + 8

48

Δ = 1 + 48

ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

48

en la recta numérica:

1 + 48

49

Δ = 49

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

n_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

n_{1} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{49}

7

ya que

7^{2}

49

n_{1} = \frac{1 - 7}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 - 7

-6

n_{1} = - \frac{6}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{6}{2}

-3

n_{1} = -3

La fórmula de segundo grado da

n_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

n_{2} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{49}

7

ya que

7^{2}

49

n_{2} = \frac{1 + 7}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 7

8

n_{2} = \frac{8}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{8}{2}

4

n_{2} = 4

Factores encontrados:

(n + 3) \cdot (n - 4)

3) Factoricemos en

ℝ

n^{2} - 4 n

Podemos factorizar la expresión como:

n \cdot (n - 4)

ⓘ El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

\frac{n^{2} - n - 12}{n^{2} - 4 n}

\frac{n + 3}{n}

\frac{n + 3}{n}

ⅰ

\frac{n + 3}{n}

1 + \frac{3}{n}

1 + \frac{3}{n}

▶Forma simplificada:

\frac{3}{n} + 1