sqrt(x)(dy)/(dx)=e^{7y+sqrt(x)}

⚠ sqrt(x)(dy)/(dx)=e^{7y+sqrt(x)} se interpreta como sqrt(x)*y'=e^(7y+sqrt(x)): utiliza dif(expression, variable) para una derivada respecto a esa variable, utiliza (numerador)/(denominador) para un cociente, utiliza * para una multiplicación, utiliza ^ para una potencia, utiliza ^(...) para agrupar un exponente

1) Resolvamos la ecuación separable

\sqrt{x} \cdot y' = e^{7 y + \sqrt{x}}

, donde

y

es una función de

x

Donde

\sqrt{x} \neq 0

, dividimos por

\sqrt{x}

para despejar

y'

y' = \frac{e^{7 y + \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

⇥1.1) Determinemos el dominio de

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

⇥ Para que la expresión

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

esté definida, debe cumplirse:

x > 0

⇥Solución obtenida:

x > 0

La función de

x

está definida para

x > 0

ⓘ La exponencial de una suma es el producto de las exponenciales:

e^{7 y + \sqrt{x}} = e^{\sqrt{x}} e^{7 y}

El segundo miembro es el producto de

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

, que solo depende de

x

, y de

e^{7 y}

, que solo depende de

y

e^{7 y}

no se anula: separamos las variables,

\frac{dy}{e^{7 y}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \cdot dx

⇥1.2) Integremos:

\int \frac{1}{e^{7 y}} d y

⇥Para la expresión matemática

\frac{1}{e^{7 y}}

, sabiendo que (1/a^n)' = -(n*ln(a))'/a^n, intentamos derivar

\frac{1}{e^{7 y}}

⇥1.3) Derivemos:

\frac{d}{d y} (\frac{1}{e^{7 y}})

⇥Para

p3

1

q4

e^{7 y}

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d y} (\frac{p3}{q4}) = \frac{\frac{d}{d y} (p3) \cdot q4 - p3 \cdot \frac{d}{d y} (q4)}{{q4}^{2}}

⇥1.4) Derivemos

p3

\frac{d}{d y} (1)

⇥ⓘ Derivar una constante da cero:

\frac{d}{d y} (1)

0

⇥

0

⇥1.5) Derivemos

q4

\frac{d}{d y} (e^{7 y})

⇥Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d y} (\exp (f)) = \frac{d}{d y} (f) \cdot \exp (f)

con f =

7 y

⇥ⓘ La derivada de

\exp (y)

\exp (y)

\frac{d}{d y} (e^{7 y})

\frac{d}{d y} (7 y) \cdot e^{7 y}

⇥

\frac{d}{d y} (7 y) \cdot e^{7 y}

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d y} (7 y)

7

⇥

7 e^{7 y}

⇥1.6) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p3}{q4}

)':

\frac{0 \cdot e^{7 y} - 1 \cdot 7 e^{7 y}}{{(e^{7 y})}^{2}}

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot e^{7 y}

0

■En una potencia de una potencia se multiplican los exponentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(e^{7 y})}^{2}

e^{7 y \cdot 2}

⇥

\frac{0 - 7 e^{7 y}}{e^{7 y \cdot 2}}

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 7 e^{7 y}

- 7 e^{7 y}

⇥ⅰ

7 \cdot 2

14

⇥

- \frac{7 e^{7 y}}{e^{14 y}}

⇥ⓘ El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

- \frac{7 e^{7 y}}{e^{14 y}}

-7 e^{7 y - 14 y}

⇥

-7 e^{7 y - 14 y}

⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

7 y - 14 y

-7 y

⇥

- 7 e^{- 7 y}

⇥ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

- 7 e^{- 7 y}

- \frac{7}{e^{7 y}}

⇥

- \frac{7}{e^{7 y}}

⇥1.7) Después continuamos la derivación:

⇥ⅰ

\frac{d}{d y} (\frac{1}{e^{7 y}})

- \frac{7}{e^{7 y}}

⇥

- \frac{7}{e^{7 y}}

⇥La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

⇥ⓘ La derivada de

- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 y}}

\frac{1}{e^{7 y}}

, por lo que

- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 y}}

es una primitiva de

\frac{1}{e^{7 y}}

\int \frac{1}{e^{7 y}} d y

- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 y}}

⇥

- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 y}}

⇥ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 y}}

- \frac{1 \cdot 1}{7 e^{7 y}}

- \frac{1}{7 e^{7 y}}

⇥

- \frac{1}{7 e^{7 y}}

⇥1.8) Integremos:

\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x

⇥Para la expresión matemática

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

, sabiendo que (exp(a))' = a'*exp(a), intentamos derivar

\exp (\sqrt{x})

⇥1.9) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\exp (\sqrt{x}))

⇥Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\exp (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \exp (f)

con f =

\sqrt{x}

⇥ⓘ La derivada de

\exp (x)

\exp (x)

\frac{d}{d x} (\exp (\sqrt{x}))

\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) \cdot \exp (\sqrt{x})

⇥

\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) \cdot \exp (\sqrt{x})

⇥ⓘ La derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

⇥

\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \exp (\sqrt{x})

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \exp (\sqrt{x})

\frac{1 \cdot \exp (\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}}

\frac{\exp (\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}}

⇥

\frac{\exp (\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}}

⇥La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

⇥ⓘ La derivada de

2 e^{\sqrt{x}}

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

, por lo que

2 e^{\sqrt{x}}

es una primitiva de

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x

2 e^{\sqrt{x}}

⇥

2 e^{\sqrt{x}}

Al integrar ambos miembros, obtenemos

- \frac{1}{7 e^{7 y}} = 2 e^{\sqrt{x}} + C

, donde

C

es una constante real arbitraria

Multiplicamos por

-7

y renombramos

- 7 C

como

C

e^{-7 y} = - 14 e^{\sqrt{x}} + C

Despejamos

y

-7 y = \ln (- 14 e^{\sqrt{x}} + C)

, de donde

y = - \frac{\ln (- 14 e^{\sqrt{x}} + C)}{7}

, allí donde

- 14 e^{\sqrt{x}} + C > 0

▶Solución:

y = - \frac{\ln (- 14 e^{\sqrt{x}} + C)}{7}