sum(8/(k^2-1),k=2,+inf) — solución paso a paso

1) Calculemos:

\sum_{k = 2}^{+∞} \frac{8}{k^{2} - 1}

⇥1.1) Factoricemos en

ℝ

k^{2} - 1

⇥Para

k^{2} - 1

, reconocemos una diferencia de cuadrados:

k^{2} - 1^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, con

a = k

b = 1

⇥Factores encontrados:

(k + 1) \cdot (k - 1)

⇥1.2) Podemos descomponer en fracciones simples:

⇥

\frac{8}{(k + 1) \cdot (k - 1)} = \frac{A}{k + 1} + \frac{B}{k - 1}

⇥Para el factor simple

k + 1

y su raíz

-1

, calculamos la incógnita A multiplicando por el denominador

k^{2} - 1

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥1.3) Resolvamos en

ℝ

(- 1 - 1) \cdot A = 8

⇥ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

- 1 - 1

-2

⇥

- 2 A = 8

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

-2

⇥

A = \frac{8}{-2}

⇥ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{8}{-2}

- \frac{8}{2}

⇥

A = - \frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{8}{2}

-4

⇥Solución encontrada:

A = -4

⇥Para el factor simple

k - 1

y su raíz

1

, calculamos la incógnita B multiplicando por el denominador

k^{2} - 1

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥1.4) Resolvamos en

ℝ

(1 + 1) \cdot B = 8

⇥ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

1 + 1

2

⇥

2 B = 8

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

⇥

B = \frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{8}{2}

4

⇥Solución encontrada:

B = 4

⇥1.5) Finalmente, sustituimos los valores de las incógnitas en la descomposición racional inicial:

⇥

\frac{8}{(k + 1) \cdot (k - 1)} = - \frac{4}{k + 1} + \frac{4}{k - 1}

La descomposición da:

\frac{8}{k^{2} - 1} = \frac{4}{k - 1} - \frac{4}{k + 1}

2) Separamos la suma finita hasta

N

\sum_{k = 2}^{N} \frac{8}{k^{2} - 1} = \sum_{k = 2}^{N} \frac{4}{k - 1} - \sum_{k = 2}^{N} \frac{4}{k + 1}

Hacemos

K = k - 1

para el denominador

k - 1

K = k + 1

para el denominador

k + 1

\sum_{K = 1}^{N - 1} \frac{4}{K} - \sum_{K = 3}^{N + 1} \frac{4}{K}

Para

N \geq 4

, separamos los términos de los extremos:

(4 + \frac{4}{2} + \sum_{K = 3}^{N - 1} \frac{4}{K}) - (\sum_{K = 3}^{N - 1} \frac{4}{K} + \frac{4}{N} + \frac{4}{N + 1})

Las dos sumas de

3

N - 1

son idénticas y se cancelan:

4

+ \frac{4}{2}

- \frac{4}{N}

- \frac{4}{N + 1}

3) Tomamos ahora el límite cuando

N \to +∞

Calculemos el límite de

4

+ \frac{4}{2}

- \frac{4}{N}

- \frac{4}{N + 1}

cuando

N \to +∞

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites■Un número dividido por una cantidad que se hace infinitamente grande tiende a 0

El límite de

- \frac{4}{N}

0

⁻ cuando

N \to +∞

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites■Una cantidad infinitamente grande más una cantidad finita o acotada sigue siendo infinitamente grande

El límite de

N + 1

+∞

cuando

N \to +∞

ⓘ Un número dividido por una cantidad que se hace infinitamente grande tiende a 0

El límite de

- \frac{4}{N + 1}

0

⁻ cuando

N \to +∞

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

Por tanto, el límite de

4

+ \frac{4}{2}

- \frac{4}{N}

- \frac{4}{N + 1}

4 + \frac{4}{2}

cuando

N \to +∞

Evaluemos:

4 + \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{4}{2}

2

4 + 2

ⓘ Partimos de

4

y avanzamos

2

en la recta numérica:

4 + 2

6

ⅰ

\sum_{k = 2}^{+∞} \frac{8}{k^{2} - 1}

6

▶Resultado:

6