sum((1/2)^n,n=1,4) — solución paso a paso

1) Evaluemos:

\sum_{n = 1}^{4} {(\frac{1}{2})}^{n}

Para

\sum_{k = a}^{b} c^{k + d}

, podemos utilizar la fórmula:

c^{a + d} \cdot \frac{c^{b - a + 1} - 1}{c - 1}

ⅰ

\sum_{n = 1}^{4} {(\frac{1}{2})}^{n}

\frac{1}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{4 - 1 + 1} - 1}{\frac{1}{2} - 1}

\frac{1}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{4 - 1 + 1} - 1}{\frac{1}{2} - 1}

ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

\frac{1}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{4 - 1 + 1} - 1}{\frac{1}{2} - 1}

\frac{1 \cdot ({(\frac{1}{2})}^{4 - 1 + 1} - 1)}{2 \cdot (\frac{1}{2} - 1)}

\frac{{(\frac{1}{2})}^{4 - 1 + 1} - 1}{2 \cdot (\frac{1}{2} - 1)}

■El exponente se calcula antes que la potencia:

- 1 + 1

0

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1}{2} - 1

\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}

\frac{{(\frac{1}{2})}^{4 + 0} - 1}{2 \cdot \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

4 + 0

4

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

1 \cdot 2

2

\frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{2 \cdot \frac{1 - 2}{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{1 - 2}{2}

\frac{2 \cdot (1 - 2)}{2}

■Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

1 - 2

-1

■Multiplicar por -1 da el opuesto:

2 \cdot (-1)

-2

\frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{2}{2}}

ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{2}{2}}

- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{\frac{2}{2}}

- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{\frac{2}{2}}

ⓘ El signo menos de la fracción pasa al numerador o al denominador y cambia el signo de cada uno de sus términos:

- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{\frac{2}{2}}

\frac{- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1}{\frac{2}{2}}

\frac{- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1}{\frac{2}{2}}

ⓘ Dividir equivale a multiplicar por el inverso:

\frac{- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1}{\frac{2}{2}}

(- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1) \cdot \frac{2}{2}

■Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{2}

1

(- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1) \cdot 1

- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1

ⓘ La potencia de un cociente es el cociente de las potencias,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

- {(\frac{1}{2})}^{4}

- \frac{1}{2^{4}}

- \frac{1}{2^{4}} + 1

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{4}

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

- \frac{1}{16} + 1

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- \frac{1}{16} + 1

\frac{- 1 + 16}{16}

\frac{- 1 + 16}{16}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 1 + 16

15

▶Resultado:

\frac{15}{16}

2) El valor numérico de:

\frac{15}{16}

es:

▷

0,9375