suma de 8/(n^2-1) para n desde 4 hacia +inf

1) Calculemos:

\sum_{n = 4}^{+∞} \frac{8}{n^{2} - 1}

⇥1.1) Factoricemos en

ℝ

n^{2} - 1

⇥Para

n^{2} - 1

, reconocemos una diferencia de cuadrados:

n^{2} - 1^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, con

a = n

b = 1

⇥Factores encontrados:

(n + 1) \cdot (n - 1)

⇥1.2) Podemos descomponer en fracciones simples:

⇥

\frac{8}{(n + 1) \cdot (n - 1)} = \frac{A}{n + 1} + \frac{B}{n - 1}

⇥Para el factor simple

n + 1

y su raíz

-1

, calculamos la incógnita A multiplicando por el denominador

n^{2} - 1

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥1.3) Resolvamos en

ℝ

(- 1 - 1) \cdot A = 8

⇥ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

- 1 - 1

-2

⇥

- 2 A = 8

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

-2

⇥

A = \frac{8}{-2}

⇥ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{8}{-2}

- \frac{8}{2}

⇥

A = - \frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{8}{2}

-4

⇥Solución encontrada:

A = -4

⇥Para el factor simple

n - 1

y su raíz

1

, calculamos la incógnita B multiplicando por el denominador

n^{2} - 1

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥1.4) Resolvamos en

ℝ

(1 + 1) \cdot B = 8

⇥ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

1 + 1

2

⇥

2 B = 8

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

⇥

B = \frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{8}{2}

4

⇥Solución obtenida:

B = 4

⇥1.5) Finalmente, sustituimos los valores de las incógnitas en la descomposición racional inicial:

⇥

\frac{8}{(n + 1) \cdot (n - 1)} = - \frac{4}{n + 1} + \frac{4}{n - 1}

La descomposición da:

\frac{8}{n^{2} - 1} = \frac{4}{n - 1} - \frac{4}{n + 1}

2) Separamos la suma finita hasta

N

\sum_{n = 4}^{N} \frac{8}{n^{2} - 1} = \sum_{n = 4}^{N} \frac{4}{n - 1} - \sum_{n = 4}^{N} \frac{4}{n + 1}

Hacemos

k = n - 1

para el denominador

n - 1

k = n + 1

para el denominador

n + 1

\sum_{k = 3}^{N - 1} \frac{4}{k} - \sum_{k = 5}^{N + 1} \frac{4}{k}

Para

N \geq 6

, separamos los términos de los extremos:

(\frac{4}{3} + \frac{4}{4} + \sum_{k = 5}^{N - 1} \frac{4}{k}) - (\sum_{k = 5}^{N - 1} \frac{4}{k} + \frac{4}{N} + \frac{4}{N + 1})

Las dos sumas de

5

N - 1

son idénticas y se cancelan:

\frac{4}{3}

+ \frac{4}{4}

- \frac{4}{N}

- \frac{4}{N + 1}

3) Tomamos ahora el límite cuando

N \to +∞

⇥3.1) Primero, reduzcamos:

\frac{4}{3}

+ \frac{4}{4}

- \frac{4}{N}

- \frac{4}{N + 1}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores. Elegimos

12

, el mínimo común múltiplo de

3

4

. Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número no cambia la fracción:

\frac{4}{3} + \frac{4}{4}

\frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 3}

\frac{4 \cdot 4 + 4 \cdot 3}{3 \cdot 4}

⇥

\frac{4 \cdot 4 + 4 \cdot 3}{3 \cdot 4} - \frac{4}{N} - \frac{4}{N + 1}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 4

16

4 \cdot 3

12

⇥ⅰ

3 \cdot 4

12

⇥

\frac{16 + 12}{12} - \frac{4}{N} - \frac{4}{N + 1}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

16 + 12

28

⇥

\frac{28}{12} - \frac{4}{N} - \frac{4}{N + 1}

⇥3.2) Calculemos el límite de

\frac{28}{12} - \frac{4}{N} - \frac{4}{N + 1}

cuando

N \to +∞

⇥ⓘ Un número dividido por una cantidad que se hace infinitamente grande tiende a 0

⇥El límite de

- \frac{4}{N}

0

⁻ cuando

N \to +∞

⇥ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites■Una cantidad infinitamente grande más una cantidad finita o acotada sigue siendo infinitamente grande

⇥ El límite de

N + 1

+∞

cuando

N \to +∞

⇥ⓘ Un número dividido por una cantidad que se hace infinitamente grande tiende a 0

⇥El límite de

- \frac{4}{N + 1}

0

⁻ cuando

N \to +∞

⇥ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

⇥Por tanto, el límite de

\frac{28}{12} - \frac{4}{N} - \frac{4}{N + 1}

\frac{28}{12}

cuando

N \to +∞

⇥Evaluemos:

\frac{28}{12}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

\frac{28}{12}

\frac{7 \cdot 4}{3 \cdot 4}

\frac{7}{3}

ⅰ

\sum_{n = 4}^{+∞} \frac{8}{n^{2} - 1}

\frac{7}{3}

▶Resultado:

\frac{7}{3}

4) El valor numérico de:

\frac{7}{3}

vale:

▷

\approx 2,3333