tangente de 5x^2+8x-8 — solución paso a paso

No se ha indicado una abscisa: busquemos la tangente en el punto general

x = a

, para

a

real

Derivemos:

\frac{d}{d x} (5 x^{2} + 8 x - 8)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (5 x^{2} + 8 x - 8)

\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + 0

\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + 0

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (5 x^{2})

5 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (8 x)

8

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (8 x) + 0

\frac{d}{d x} (8 x)

5 \cdot 2 x + 8

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

5 \cdot 2

10

10 x + 8

Calculemos

f (a)

El punto de tangencia es (

a

5 a^{2} + 8 a - 8

)

Calculemos

f^{'} (a)

La pendiente es

f^{'} (a)

10 a + 8

La tangente pasa por este punto con esta pendiente:

y = (10 a + 8) \cdot (x - a) + (5 a^{2} + 8 a - 8)

Calculemos la ordenada en el origen:

b = (5 a^{2} + 8 a - 8) - (10 a + 8) \cdot a

(5 a^{2} + 8 a - 8) - (10 a + 8) \cdot a

5 a^{2}

+ 8 a

- 8

- (10 a + 8) \cdot a

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- (10 a + 8) \cdot a

- (10 a^{2} + 8 a)

5 a^{2}

+ 8 a

- 8

- (10 a^{2} + 8 a)

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (10 a^{2} + 8 a)

- 10 a^{2} - 8 a

5 a^{2}

+ 8 a

- 8

- 10 a^{2}

- 8 a

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

5 a^{2} - 10 a^{2}

-5 a^{2}

8 a - 8 a

0

- 5 a^{2} + 0 - 8

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 8

-8

- 5 a^{2} - 8

y = (10 a + 8) \cdot x + (- 5 a^{2} - 8)

▶Tangente:

y = (10 a + 8) \cdot x - 5 a^{2} - 8