tangente de (64)/(x^2+16) en x=3 — solución paso a paso

Comprobemos el dominio antes de calcular la tangente:

x \in ℝ

Busquemos la tangente en

x = 3

Para facilitar la derivación, transformamos la expresión

\frac{64}{x^{2} + 16}

64 \cdot {(x^{2} + 16)}^{-1}

Derivemos:

\frac{d}{d x} (64 \cdot {(x^{2} + 16)}^{-1})

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

x^{2} + 16

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (64 \cdot {(x^{2} + 16)}^{-1})

64 \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 16)}^{-1})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 16)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16) \cdot {(x^{2} + 16)}^{-2}

64 \cdot (-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16) \cdot {(x^{2} + 16)}^{-2})

ⓘ Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

64 \cdot (-1)

-64

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 16)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

-64 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0) \cdot {(x^{2} + 16)}^{-2}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

- 64 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) \cdot {(x^{2} + 16)}^{-2}

- \frac{64 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}

- \frac{64 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

- \frac{64 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}

ⅰ

64 \cdot 2

(60 + 4) \cdot 2

60 \cdot 2 + 4 \cdot 2

120 + 8

128

- \frac{128 x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}

Calculemos

f (3)

\frac{64}{3^{2} + 16}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

\frac{64}{9 + 16}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

9 + 16

25

\frac{64}{25}

El punto de tangencia es (

3

\frac{64}{25}

)

Calculemos

f^{'} (3)

- \frac{128 \cdot 3}{{(3^{2} + 16)}^{2}}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

ⅰ

128 \cdot 3

(100 + 20 + 8) \cdot 3

100 \cdot 3 + 20 \cdot 3 + 8 \cdot 3

300 + 60 + 24

384

- \frac{384}{{(9 + 16)}^{2}}

ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

9 + 16

25

- \frac{384}{25^{2}}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

25^{2}

25 \cdot 25

625

- \frac{384}{625}

La pendiente es

f^{'} (3)

- \frac{384}{625}

La tangente pasa por este punto con esta pendiente:

y = - \frac{384}{625} \cdot (x - 3) + \frac{64}{25}

Calculemos la ordenada en el origen:

b = \frac{64}{25} - (- \frac{384}{625} \cdot 3)

\frac{64}{25} - (- \frac{384}{625} \cdot 3)

ⓘ Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- (- \frac{384}{625} \cdot 3)

\frac{384}{625} \cdot 3

\frac{64}{25} + \frac{384}{625} \cdot 3

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

\frac{384}{625} \cdot 3

\frac{384 \cdot 3}{625}

\frac{1152}{625}

\frac{64}{25} + \frac{1152}{625}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores. Elegimos

625

, el mínimo común múltiplo de

25

625

. Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número no cambia la fracción:

\frac{64}{25} + \frac{1152}{625}

\frac{64 \cdot 25}{25 \cdot 25} + \frac{1152}{625}

\frac{64 \cdot 25 + 1152}{625}

\frac{64 \cdot 25 + 1152}{625}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

64 \cdot 25

64 \cdot (20 + 5)

64 \cdot 20 + 64 \cdot 5

1280 + 320

1600

\frac{1600 + 1152}{625}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1600 + 1152

2752

\frac{2752}{625}

y = - \frac{384}{625} \cdot x + \frac{2752}{625}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{384}{625} \cdot x

\frac{384 x}{625}

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- \frac{384 x}{625} + \frac{2752}{625}

\frac{- 384 x + 2752}{625}

▶Tangente:

y = \frac{- 384 x + 2752}{625}