tangente de f(x)=1/x en x=-2 — solución paso a paso

Comprobemos el dominio antes de calcular la tangente:

x \neq 0

Busquemos la tangente en

x = -2

Para facilitar la derivación, transformamos la expresión

\frac{1}{x}

x^{-1}

Derivemos:

\frac{d}{d x} (x^{-1})

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

x

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{-1})

-1 \cdot x^{-2}

-1 \cdot x^{-2}

ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot x^{-2}

- x^{-2}

- x^{-2}

ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

- x^{-2}

- \frac{1}{x^{2}}

- \frac{1}{x^{2}}

Calculemos

f (-2)

\frac{1}{-2}

ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{1}{-2}

- \frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

El punto de tangencia es (

-2

- \frac{1}{2}

)

Calculemos

f^{'} (-2)

- \frac{1}{{(-2)}^{2}}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

- \frac{1}{4}

La pendiente es

f^{'} (-2)

- \frac{1}{4}

La tangente pasa por este punto con esta pendiente:

y = - \frac{1}{4} \cdot (x + 2) - \frac{1}{2}

Calculemos la ordenada en el origen:

b = - \frac{1}{2} - (- \frac{1}{4} \cdot (-2))

- \frac{1}{2} - (- \frac{1}{4} \cdot (-2))

- \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot 2

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{4} \cdot 2

\frac{1 \cdot 2}{4}

\frac{2}{4}

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores. Elegimos

4

, el mínimo común múltiplo de

2

4

. Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número no cambia la fracción:

- \frac{1}{2} - \frac{2}{4}

\frac{-1 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{2}{4}

\frac{- 1 \cdot 2 - 2}{4}

\frac{- 1 \cdot 2 - 2}{4}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

1 \cdot 2

2

\frac{- 2 - 2}{4}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 2 - 2

-4

- \frac{4}{4}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

- \frac{4}{4}

-1

-1

y = - \frac{1}{4} \cdot x - 1

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{4} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{4}

\frac{x}{4}

▶Tangente:

y = - \frac{x}{4} - 1