tangente de f(x)=3tan(x) en x=pi/3

Busquemos la tangente en

x = \frac{π}{3}

Derivemos:

\frac{d}{d x} (3 \cdot \tan (x))

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 \cdot \tan (x))

3 \cdot \frac{d}{d x} (\tan (x))

■La derivada de

\tan (x)

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{d}{d x} (\tan (x))

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

3 \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

3 \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{3 \cdot 1}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{3}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{3}{{\cos (x)}^{2}}

Calculemos

f (\frac{π}{3})

3 \cdot \tan (\frac{π}{3})

ⓘ La tangente es el cociente entre la ordenada (eje vertical) y la abscisa (eje horizontal) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

\frac{π}{3}

radianes desde el semieje horizontal positivo, siempre que la abscisa no sea nula, es un valor notable:

\tan (\frac{π}{3})

\sqrt{3}

3 \cdot \sqrt{3}

El punto de tangencia es (

\frac{π}{3}

3 \cdot \sqrt{3}

)

Calculemos

f^{'} (\frac{π}{3})

\frac{3}{{\cos (\frac{π}{3})}^{2}}

ⓘ El coseno corresponde a la abscisa (eje horizontal) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

\frac{π}{3}

radianes desde el semieje horizontal positivo, es un valor notable:

\cos (\frac{π}{3})

\frac{1}{2}

\frac{3}{{(\frac{1}{2})}^{2}}

ⓘ La potencia de un cociente es el cociente de las potencias,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{1}{2})}^{2}

\frac{1}{2^{2}}

\frac{3}{\frac{1}{2^{2}}}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

\frac{3}{\frac{1}{4}}

ⓘ Dividir equivale a multiplicar por el inverso:

\frac{3}{\frac{1}{4}}

3 \cdot 4

3 \cdot 4

ⅰ

3 \cdot 4

12

12

La pendiente es

f^{'} (\frac{π}{3})

12

La tangente pasa por este punto con esta pendiente:

y = 12 \cdot (x - \frac{π}{3}) + 3 \cdot \sqrt{3}

Calculemos la ordenada en el origen:

b = 3 \cdot \sqrt{3} - 12 \cdot \frac{π}{3}

3 \cdot \sqrt{3} - 12 \cdot \frac{π}{3}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

12 \cdot \frac{π}{3}

\frac{12 π}{3}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{12 π}{3}

- 4 π

3 \cdot \sqrt{3} - 4 π

▶Tangente:

y = 12 x + 3 \cdot \sqrt{3} - 4 π