tangente de f(x)=(x+2)/(x^2-9) en x=1

Comprobemos el dominio antes de calcular la tangente:

x \in ℝ \ {-3; 3}

Busquemos la tangente en

x = 1

⇥1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{x + 2}{x^{2} - 9})

⇥Para

p1

x + 2

q2

x^{2} - 9

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥2) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (x + 2)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x + 2)

1 + 0

⇥

1 + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

⇥

1

⇥3) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

2 x

⇥4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{1 \cdot (x^{2} - 9) - (x + 2) \cdot 2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥

\frac{x^{2} - 9 - (x + 2) \cdot 2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(x + 2) \cdot 2

x \cdot 2 + 4

⇥

\frac{x^{2} - 9 - (x \cdot 2 + 4) \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- (x \cdot 2 + 4) \cdot x

- (2 x^{2} + 4 x)

⇥

\frac{x^{2} - 9 - (2 x^{2} + 4 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (2 x^{2} + 4 x)

- 2 x^{2} - 4 x

⇥

\frac{x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x^{2} - 2 x^{2}

- x^{2}

⇥

\frac{- x^{2} - 9 - 4 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- x^{2} - 9 - 4 x

- (x^{2} + 9 + 4 x)

⇥

- \frac{x^{2} + 9 + 4 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥5) Después continuamos la derivación:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x + 2}{x^{2} - 9})

- \frac{x^{2} + 9 + 4 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥

- \frac{x^{2} + 9 + 4 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥

- \frac{x^{2} + 4 x + 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

Calculemos

f (1)

⇥

\frac{1 + 2}{1^{2} - 9}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 2

3

1 - 9

-8

⇥

\frac{3}{-8}

⇥ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{3}{-8}

- \frac{3}{8}

⇥

- \frac{3}{8}

El punto de tangencia es (

1

- \frac{3}{8}

)

Calculemos

f^{'} (1)

⇥

- \frac{1^{2} + 4 \cdot 1 + 9}{{(1^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

1 - 9

-8

⇥

- \frac{1 + 4 + 9}{{(-8)}^{2}}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 4

5

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-8)}^{2}

(-8) \cdot (-8)

64

⇥

- \frac{5 + 9}{64}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

5 + 9

14

⇥

- \frac{14}{64}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{14}{64}

- \frac{7 \cdot 2}{32 \cdot 2}

- \frac{7}{32}

⇥

- \frac{7}{32}

La pendiente es

f^{'} (1)

- \frac{7}{32}

La tangente pasa por este punto con esta pendiente:

y = - \frac{7}{32} \cdot (x - 1) - \frac{3}{8}

Calculemos la ordenada en el origen:

b = - \frac{3}{8} + \frac{7}{32}

⇥

- \frac{3}{8} + \frac{7}{32}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores. Elegimos

32

, el mínimo común múltiplo de

8

32

. Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número no cambia la fracción:

- \frac{3}{8} + \frac{7}{32}

\frac{-3 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{7}{32}

\frac{- 3 \cdot 4 + 7}{32}

⇥

\frac{- 3 \cdot 4 + 7}{32}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 4

12

⇥

\frac{- 12 + 7}{32}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 12 + 7

-5

⇥

- \frac{5}{32}

⇥

y = - \frac{7}{32} \cdot x - \frac{5}{32}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{7}{32} \cdot x

\frac{7 x}{32}

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- \frac{7 x}{32} - \frac{5}{32}

\frac{- 7 x - 5}{32}

⇥

y = \frac{- 7 x - 5}{32}

ⓘ Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 7 x - 5

- (7 x + 5)

▶Tangente:

y = - \frac{7 x + 5}{32}