tangente de f(x)=(x^2)/(x+1) en x=2

Comprobemos el dominio antes de calcular la tangente:

x \neq -1

Busquemos la tangente en

x = 2

⇥1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x + 1})

⇥Para

p1

x^{2}

q2

x + 1

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥2) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (x^{2})

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

2 x

⇥3) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (x + 1)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x + 1)

1 + 0

⇥

1 + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

⇥

1

⇥4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{2 x \cdot (x + 1) - x^{2} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}

⇥

\frac{2 x \cdot (x + 1) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}

⇥ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{2 x \cdot (x + 1) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}

\frac{x \cdot (2 \cdot (x + 1) - x)}{{(x + 1)}^{2}}

⇥

\frac{x \cdot (2 \cdot (x + 1) - x)}{{(x + 1)}^{2}}

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

2 \cdot (x + 1)

2 x + 2

⇥

\frac{x \cdot (2 x + 2 - x)}{{(x + 1)}^{2}}

⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

2 x - x

x

⇥

\frac{x \cdot (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}

⇥5) Después continuamos la derivación:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x + 1})

\frac{x \cdot (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}

⇥

\frac{x \cdot (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}

Calculemos

f (2)

⇥

\frac{2^{2}}{2 + 1}

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

■El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

2 + 1

3

⇥

\frac{4}{3}

El punto de tangencia es (

2

\frac{4}{3}

)

Calculemos

f^{'} (2)

⇥

\frac{2 \cdot (2 + 2)}{{(2 + 1)}^{2}}

⇥ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

2 + 2

4

2 + 1

3

⇥

\frac{2 \cdot 4}{3^{2}}

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

⇥ⅰ

2 \cdot 4

8

⇥

\frac{8}{9}

La pendiente es

f^{'} (2)

\frac{8}{9}

La tangente pasa por este punto con esta pendiente:

y = \frac{8}{9} \cdot (x - 2) + \frac{4}{3}

Calculemos la ordenada en el origen:

b = \frac{4}{3} - \frac{8}{9} \cdot 2

⇥

\frac{4}{3} - \frac{8}{9} \cdot 2

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

\frac{8}{9} \cdot 2

\frac{8 \cdot 2}{9}

\frac{16}{9}

⇥

\frac{4}{3} - \frac{16}{9}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores. Elegimos

9

, el mínimo común múltiplo de

3

9

. Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número no cambia la fracción:

\frac{4}{3} - \frac{16}{9}

\frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{16}{9}

\frac{4 \cdot 3 - 16}{9}

⇥

\frac{4 \cdot 3 - 16}{9}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 3

12

⇥

\frac{12 - 16}{9}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

12 - 16

-4

⇥

- \frac{4}{9}

⇥

y = \frac{8}{9} \cdot x - \frac{4}{9}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{8}{9} \cdot x

\frac{8 x}{9}

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{8 x}{9} - \frac{4}{9}

\frac{8 x - 4}{9}

▶Tangente:

y = \frac{8 x - 4}{9}