tangente de y=(5x)/(x+2),(3,3) — solución paso a paso

Comprobemos el dominio antes de calcular la tangente:

x \neq -2

Busquemos la tangente en

x = 3

⇥1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{x + 2})

⇥Para

p1

5 x

q2

x + 2

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥2) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (5 x)

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (5 x)

5

⇥

5

⇥3) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (x + 2)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x + 2)

1 + 0

⇥

1 + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

⇥

1

⇥4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{5 \cdot (x + 2) - 5 x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}

⇥

\frac{5 \cdot (x + 2) - 5 x}{{(x + 2)}^{2}}

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

5 \cdot (x + 2)

5 x + 10

⇥

\frac{5 x + 10 - 5 x}{{(x + 2)}^{2}}

⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

5 x - 5 x

0

⇥

\frac{0 + 10}{{(x + 2)}^{2}}

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 10

10

⇥

\frac{10}{{(x + 2)}^{2}}

⇥5) Después continuamos la derivación:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{x + 2})

\frac{10}{{(x + 2)}^{2}}

⇥

\frac{10}{{(x + 2)}^{2}}

Calculemos

f (3)

⇥

\frac{5 \cdot 3}{3 + 2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

3 + 2

5

⇥ⅰ

5 \cdot 3

15

⇥

\frac{15}{5}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

5

, su máximo común divisor:

\frac{15}{5}

3

⇥

3

El punto de tangencia es (

3

3

)

Calculemos

f^{'} (3)

⇥

\frac{10}{{(3 + 2)}^{2}}

⇥ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

3 + 2

5

⇥

\frac{10}{5^{2}}

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

5^{2}

5 \cdot 5

25

⇥

\frac{10}{25}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

5

, su máximo común divisor:

\frac{10}{25}

\frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 5}

\frac{2}{5}

⇥

\frac{2}{5}

La pendiente es

f^{'} (3)

\frac{2}{5}

La tangente pasa por este punto con esta pendiente:

y = \frac{2}{5} \cdot (x - 3) + 3

Calculemos la ordenada en el origen:

b = 3 - \frac{2}{5} \cdot 3

⇥

3 - \frac{2}{5} \cdot 3

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

\frac{2}{5} \cdot 3

\frac{2 \cdot 3}{5}

\frac{6}{5}

⇥

3 - \frac{6}{5}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

3 - \frac{6}{5}

\frac{5 \cdot 3 - 6}{5}

⇥

\frac{5 \cdot 3 - 6}{5}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

5 \cdot 3

15

⇥

\frac{15 - 6}{5}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

15 - 6

9

⇥

\frac{9}{5}

⇥

y = \frac{2}{5} \cdot x + \frac{9}{5}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{2}{5} \cdot x

\frac{2 x}{5}

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{2 x}{5} + \frac{9}{5}

\frac{2 x + 9}{5}

▶Tangente:

y = \frac{2 x + 9}{5}