tangente de y=(-8x)/(x^2+1),(-1,4)

Comprobemos el dominio antes de calcular la tangente:

x \in ℝ

Busquemos la tangente en

x = -1

⇥1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (- \frac{8 x}{x^{2} + 1})

⇥Para

p1

8 x

q2

x^{2} + 1

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥2) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (8 x)

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (8 x)

8

⇥

8

⇥3) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

2 x

⇥4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

- \frac{8 \cdot (x^{2} + 1) - 8 x \cdot 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

8 \cdot 2

16

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

⇥

- \frac{8 \cdot (x^{2} + 1) - 16 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥ⓘ El signo menos de la fracción pasa al numerador o al denominador y cambia el signo de cada uno de sus términos:

- \frac{8 \cdot (x^{2} + 1) - 16 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

\frac{- 8 \cdot (x^{2} + 1) + 16 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥

\frac{- 8 \cdot (x^{2} + 1) + 16 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- 8 \cdot (x^{2} + 1)

- (8 x^{2} + 8)

⇥

\frac{- (8 x^{2} + 8) + 16 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (8 x^{2} + 8)

- 8 x^{2} - 8

⇥

\frac{- 8 x^{2} - 8 + 16 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 8 x^{2} + 16 x^{2}

8 x^{2}

⇥

\frac{8 x^{2} - 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥5) Después continuamos la derivación:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (- \frac{8 x}{x^{2} + 1})

\frac{8 x^{2} - 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥

\frac{8 x^{2} - 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

Calculemos

f (-1)

⇥

- \frac{8 \cdot (-1)}{{(-1)}^{2} + 1}

⇥ⓘ Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

8 \cdot (-1)

-8

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

⇥

- (\frac{-8}{1 + 1})

⇥ⓘ Dos signos menos se cancelan:

- (\frac{-8}{1 + 1})

\frac{8}{1 + 1}

⇥

\frac{8}{1 + 1}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 1

2

⇥

\frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{8}{2}

4

⇥

4

El punto de tangencia es (

-1

4

)

Calculemos

f^{'} (-1)

⇥

\frac{8 \cdot {(-1)}^{2} - 8}{{({(-1)}^{2} + 1)}^{2}}

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Multiplicar por 1 no cambia nada:

8 \cdot 1

8

⇥

\frac{8 - 8}{{(1 + 1)}^{2}}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

8 - 8

0

■Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

1 + 1

2

⇥

\frac{0}{2^{2}}

⇥

0

La pendiente es

f^{'} (-1)

0

La tangente pasa por este punto con esta pendiente:

y = 0 \cdot (x + 1) + 4

Calculemos la ordenada en el origen:

b = 4 - 0 \cdot (-1)

⇥

4 - 0 \cdot (-1)

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot (-1)

0

⇥

4 + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

4 + 0

4

⇥

4

⇥

y = 0 \cdot x + 4

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot x

0

⇥

y = 0 + 4

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 4

4

▶Tangente:

y = 4