transformada inversa de Laplace 1/((2s+1)s)

⚠ 1/((2s+1)s) se interpreta como 1/((2s+1)*s): utiliza * para este producto, utiliza ^ para una potencia

⇥1) Podemos descomponer en fracciones simples:

⇥

\frac{1}{s \cdot (2 s + 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{2 s + 1}

⇥Para el factor simple

s

y su raíz

0

, calculamos la incógnita A multiplicando por el denominador

(2 s + 1) \cdot s

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥2) Resolvamos en

ℝ

(2 \cdot 0 + 1) \cdot A = 1

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

2 \cdot 0

0

⇥

(0 + 1) \cdot A = 1

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 1

1

⇥Solución encontrada:

A = 1

⇥Para el factor simple

2 s + 1

y su raíz

- \frac{1}{2}

, calculamos la incógnita B multiplicando por el denominador

(2 s + 1) \cdot s

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥3) Resolvamos en

ℝ

- \frac{1}{2} \cdot B = 1

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

- \frac{1}{2} \cdot B

- \frac{1 \cdot B}{2}

- \frac{B}{2}

⇥

- \frac{B}{2} = 1

⇥

- B = 2

⇥ⓘ Cambiamos el signo de ambos miembros

⇥Solución obtenida:

B = -2

⇥4) Finalmente, sustituimos los valores de las incógnitas en la descomposición racional inicial:

⇥

\frac{1}{s \cdot (2 s + 1)} = \frac{1}{s} - \frac{2}{2 s + 1}

Buscamos la transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linealidad, invertimos cada fracción simple

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

\frac{1}{s}

\frac{\exp (0 \cdot t)}{0!}

Antes de aplicar la fórmula, normalizamos el polo:

- \frac{2}{2 s + 1} = - \frac{1}{s + \frac{1}{2}}

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

- \frac{1}{s + \frac{1}{2}}

\frac{-1 \cdot \exp (- \frac{1}{2} \cdot t)}{0!}

⇥

\frac{\exp (0 \cdot t)}{0!} + \frac{-1 \cdot \exp (- \frac{1}{2} \cdot t)}{0!}

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot t

0

■Todo número no nulo elevado a 0 vale 1:

\exp (0)

1

■Por convenio, el factorial de 0 vale 1:

0!

1

■Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot \exp (- \frac{1}{2} \cdot t)

- \exp (- \frac{1}{2} \cdot t)

⇥

\frac{1}{1} - \frac{\exp (- \frac{1}{2} \cdot t)}{1}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

- \frac{1}{2} \cdot t

- \frac{1 \cdot t}{2}

- \frac{t}{2}

■Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

\exp (- \frac{t}{2})

\frac{1}{\exp (\frac{t}{2})}

▶Transformada inversa de Laplace:

1 - \frac{1}{\exp (\frac{t}{2})}