transformada inversa de Laplace de 1/(s^2-s)

⇥1) Podemos descomponer en fracciones simples:

⇥

\frac{1}{s \cdot (s - 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - 1}

⇥Para el factor simple

s

y su raíz

0

, calculamos la incógnita A multiplicando por el denominador

s \cdot (s - 1)

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥2) Resolvamos en

ℝ

(0 - 1) \cdot A = 1

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 1

-1

■Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot A

- A

⇥

- A = 1

⇥ⓘ Cambiamos el signo de ambos miembros

⇥Solución obtenida:

A = -1

⇥Para el factor simple

s - 1

y su raíz

1

, calculamos la incógnita B multiplicando por el denominador

s \cdot (s - 1)

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥3) Resolvamos en

ℝ

1 \cdot B = 1

⇥Solución obtenida:

B = 1

⇥4) Finalmente, sustituimos los valores de las incógnitas en la descomposición racional inicial:

⇥

\frac{1}{s \cdot (s - 1)} = - \frac{1}{s} + \frac{1}{s - 1}

Buscamos la transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linealidad, invertimos cada fracción simple

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

\frac{1}{s - 1}

\frac{\exp (t)}{0!}

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

- \frac{1}{s}

\frac{-1 \cdot \exp (0 \cdot t)}{0!}

⇥

\frac{\exp (t)}{0!} + \frac{-1 \cdot \exp (0 \cdot t)}{0!}

⇥ⓘ Por convenio, el factorial de 0 vale 1:

0!

1

■Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot t

0

■Todo número no nulo elevado a 0 vale 1:

\exp (0)

1

⇥

\frac{\exp (t)}{1} - \frac{1}{1}

▶Transformada inversa de Laplace:

\exp (t) - 1