transformada inversa de Laplace de (2s+1)/(s^2+s)

⇥1) Podemos descomponer en fracciones simples:

⇥

\frac{2 s + 1}{s \cdot (s + 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 1}

⇥Para el factor simple

s

y su raíz

0

, calculamos la incógnita A multiplicando por el denominador

s \cdot (s + 1)

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥2) Resolvamos en

ℝ

(0 + 1) \cdot A = 2 \cdot 0 + 1

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 1

1

■Un producto con un factor nulo es nulo:

2 \cdot 0

0

⇥

A = 0 + 1

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 1

1

⇥Solución encontrada:

A = 1

⇥Para el factor simple

s + 1

y su raíz

-1

, calculamos la incógnita B multiplicando por el denominador

s \cdot (s + 1)

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥3) Resolvamos en

ℝ

-1 \cdot B = 2 \cdot (-1) + 1

⇥ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot B

- B

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

- B = - 2 + 1

⇥ⓘ Partimos de

-2

y avanzamos

1

en la recta numérica, acercándonos al cero:

- 2 + 1

-1

⇥

- B = -1

⇥Solución obtenida:

B = 1

⇥4) Finalmente, sustituimos los valores de las incógnitas en la descomposición racional inicial:

⇥

\frac{2 s + 1}{s \cdot (s + 1)} = \frac{1}{s} + \frac{1}{s + 1}

Buscamos la transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linealidad, invertimos cada fracción simple

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

\frac{1}{s}

\frac{\exp (0 \cdot t)}{0!}

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

\frac{1}{s + 1}

\frac{\exp (-1 \cdot t)}{0!}

⇥

\frac{\exp (0 \cdot t)}{0!} + \frac{\exp (-1 \cdot t)}{0!}

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot t

0

■Todo número no nulo elevado a 0 vale 1:

\exp (0)

1

■Por convenio, el factorial de 0 vale 1:

0!

1

■Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot t

- t

⇥

\frac{1}{1} + \frac{\exp (- t)}{1}

⇥ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

\exp (- t)

\frac{1}{\exp (t)}

⇥

1 + \frac{1}{\exp (t)}

▶Transformada inversa de Laplace:

\frac{1}{\exp (t)} + 1