transformada inversa de Laplace de (2s+1)/(s^3)

⇥1) Podemos descomponer en fracciones simples:

⇥

\frac{2 s + 1}{s^{3}} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^{2}} + \frac{C}{s^{3}}

⇥Para encontrar las incógnitas restantes, multiplicamos ambos miembros por el denominador

s^{3}

, lo que da:

⇥

2 s + 1 = A s^{2} + B s + C

⇥2) Identificando los distintos términos, obtenemos el sistema de ecuaciones:

⇥ [1]:

0 = A

⇥ [2]:

2 = B

⇥ [3]:

1 = C

⇥Solución encontrada [1]:

A = 0

⇥3) Resolvamos para B:

2 = B

[2]

⇥Solución obtenida [2]:

B = 2

⇥4) Resolvamos para C:

1 = C

[3]

⇥Solución encontrada [3]:

C = 1

⇥5) Finalmente, sustituimos los valores de las incógnitas en la descomposición racional inicial:

⇥

\frac{2 s + 1}{s^{3}} = \frac{2}{s^{2}} + \frac{1}{s^{3}}

Buscamos la transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linealidad, invertimos cada fracción simple

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

\frac{2}{s^{2}}

\frac{2 t \exp (0 \cdot t)}{1!}

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

\frac{1}{s^{3}}

\frac{t^{2} \exp (0 \cdot t)}{2!}

⇥

\frac{2 t \exp (0 \cdot t)}{1!} + \frac{t^{2} \exp (0 \cdot t)}{2!}

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot t

0

■Todo número no nulo elevado a 0 vale 1:

\exp (0)

1

■El factorial de un entero estrictamente positivo es el producto de todos los enteros desde 1 hasta ese entero:

1!

1

2!

2

⇥

\frac{2 t}{1} + \frac{t^{2}}{2}

⇥

2 t + \frac{t^{2}}{2}

▶Transformada inversa de Laplace:

\frac{t^{2}}{2} + 2 t