transformada inversa de Laplace de ((2s+1))/((s+1)^2)

⇥1) Podemos descomponer en fracciones simples:

⇥

\frac{2 s + 1}{{(s + 1)}^{2}} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{{(s + 1)}^{2}}

⇥Para encontrar las incógnitas restantes, multiplicamos ambos miembros por el denominador

{(s + 1)}^{2}

, lo que da:

⇥

2 s + 1 = A \cdot (s + 1) + B

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

A \cdot (s + 1)

A s + A

⇥

2 s + 1 = A s + A + B

⇥2) Identificando los distintos términos, obtenemos el sistema de ecuaciones:

⇥ [1]:

2 = A

⇥ [2]:

1 = A + B

⇥Solución encontrada [1]:

A = 2

⇥3) Resolvamos para B:

1 = A + B

[2] donde

A = 2

⇥

2 + B = 1

⇥ⓘ Restamos

2

a ambos miembros

⇥

B = 1 - 2

⇥ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

2

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

1 - 2

-1

⇥Solución obtenida [2]:

B = -1

⇥4) Finalmente, sustituimos los valores de las incógnitas en la descomposición racional inicial:

⇥

\frac{2 s + 1}{{(s + 1)}^{2}} = \frac{2}{s + 1} - \frac{1}{{(s + 1)}^{2}}

Buscamos la transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linealidad, invertimos cada fracción simple

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

\frac{2}{s + 1}

\frac{2 \exp (-1 \cdot t)}{0!}

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

- \frac{1}{{(s + 1)}^{2}}

\frac{-1 \cdot t \exp (-1 \cdot t)}{1!}

⇥

\frac{2 \exp (-1 \cdot t)}{0!} + \frac{-1 \cdot t \exp (-1 \cdot t)}{1!}

⇥ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot t

- t

-1 \cdot t \exp (- t)

- t \exp (- t)

■Por convenio, el factorial de 0 vale 1:

0!

1

■El factorial de un entero estrictamente positivo es el producto de todos los enteros desde 1 hasta ese entero:

1!

1

⇥

\frac{2 \exp (- t)}{1} - \frac{t \exp (- t)}{1}

⇥ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

2 \exp (- t)

\frac{2}{\exp (t)}

t \exp (- t)

\frac{t}{\exp (t)}

⇥

\frac{2}{\exp (t)} - \frac{t}{\exp (t)}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{2}{\exp (t)} - \frac{t}{\exp (t)}

\frac{2 - t}{\exp (t)}

▶Transformada inversa de Laplace:

\frac{2 - t}{\exp (t)}