transformada inversa de Laplace de (e^{-s})/(s^2+3s+2)

⚠ (e^{-s})/(s^2+3s+2) se interpreta como (e^(-s))/(s^2+3s+2): utiliza ^(...) para agrupar un exponente, utiliza * para multiplicar

El factor

e^{- s}

retrasa la función original en

1

: invertimos

\frac{1}{s^{2} + 3 s + 2}

y luego sustituimos

t

por

t - 1

⇥1) Factoricemos en

ℝ

s^{2} + 3 s + 2

⇥Dada la forma cuadrática

a s^{2} + b s + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 3

c = 2

⇥

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

⇥

Δ = 9 - 4 \cdot 2

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 2

8

⇥

Δ = 9 - 8

⇥ⓘ Partimos de

9

y retrocedemos

8

en la recta numérica:

9 - 8

1

⇥

Δ = 1

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

s_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{1} = \frac{- 3 - 1}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 3 - 1

-4

⇥

s_{1} = - \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{4}{2}

-2

⇥

s_{1} = -2

⇥La fórmula de segundo grado da

s_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{2} = \frac{- 3 + 1}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 3 + 1

-2

⇥

s_{2} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{2}{2}

-1

⇥

s_{2} = -1

⇥Factores encontrados:

(s + 1) \cdot (s + 2)

⇥2) Podemos descomponer en fracciones simples:

⇥

\frac{1}{(s + 1) \cdot (s + 2)} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s + 2}

⇥Para el factor simple

s + 1

y su raíz

-1

, calculamos la incógnita A multiplicando por el denominador

s^{2} + 3 s + 2

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥3) Resolvamos en

ℝ

(- 1 + 2) \cdot A = 1

⇥ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

- 1 + 2

1

■Multiplicar por 1 no cambia nada:

1 \cdot A

A

⇥Solución obtenida:

A = 1

⇥Para el factor simple

s + 2

y su raíz

-2

, calculamos la incógnita B multiplicando por el denominador

s^{2} + 3 s + 2

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥4) Resolvamos en

ℝ

(- 2 + 1) \cdot B = 1

⇥ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

- 2 + 1

-1

■Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot B

- B

⇥

- B = 1

⇥ⓘ Cambiamos el signo de ambos miembros

⇥Solución encontrada:

B = -1

⇥5) Finalmente, sustituimos los valores de las incógnitas en la descomposición racional inicial:

⇥

\frac{1}{(s + 1) \cdot (s + 2)} = \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{s + 2}

Buscamos la transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linealidad, invertimos cada fracción simple

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

\frac{1}{s + 1}

\frac{\exp (-1 \cdot t)}{0!}

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

- \frac{1}{s + 2}

\frac{-1 \cdot \exp (-2 t)}{0!}

⇥

\frac{\exp (-1 \cdot t)}{0!} + \frac{-1 \cdot \exp (-2 t)}{0!}

⇥ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot t

- t

-1 \cdot \exp (-2 t)

- \exp (-2 t)

■Por convenio, el factorial de 0 vale 1:

0!

1

⇥

\frac{\exp (- t)}{1} - \frac{\exp (-2 t)}{1}

⇥ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

\exp (- t)

\frac{1}{\exp (t)}

⇥

\frac{1}{\exp (t)} - \exp (- 2 t)

⇥ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

\exp (- 2 t)

\frac{1}{\exp (2 t)}

⇥

\frac{1}{\exp (t)} - \frac{1}{\exp (2 t)}

Retrasada en

1

, la función original es nula para

t < 1

: sustituimos

t

por

t - 1

y multiplicamos por el escalón unitario

u (t - 1)

, que vale 0 para

t < 1

y 1 para

t \geq 1

▶Transformada inversa de Laplace:

u (t - 1) \cdot (\frac{1}{\exp (t - 1)} - \frac{1}{\exp (2 \cdot (t - 1))})