transformada inversa de Laplace de (-5)/(s(s^2-5s+4))

⇥1) Factoricemos en

ℝ

s \cdot (s^{2} - 5 s + 4)

⇥Factoricemos en

ℝ

(s^{2} - 5 s + 4)

⇥Dada la forma cuadrática

a s^{2} + b s + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -5

c = 4

⇥

Δ = {(-5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-5)}^{2}

(-5) \cdot (-5)

25

⇥

Δ = 25 - 4 \cdot 4

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 4

16

⇥

Δ = 25 - 16

⇥ⓘ Partimos de

25

y retrocedemos

16

en la recta numérica:

25 - 16

9

⇥

Δ = 9

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

s_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{1} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

⇥

s_{1} = \frac{5 - 3}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

5 - 3

2

⇥

s_{1} = \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{2}

1

⇥

s_{1} = 1

⇥La fórmula de segundo grado da

s_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{2} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

⇥

s_{2} = \frac{5 + 3}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

5 + 3

8

⇥

s_{2} = \frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{8}{2}

4

⇥

s_{2} = 4

⇥Factores encontrados:

(s - 1) \cdot (s - 4)

⇥2) Podemos descomponer en fracciones simples:

⇥

- \frac{5}{s \cdot (s - 1) \cdot (s - 4)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - 1} + \frac{C}{s - 4}

⇥Para el factor simple

s

y su raíz

0

, calculamos la incógnita A multiplicando por el denominador

s \cdot (s^{2} - 5 s + 4)

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥3) Resolvamos en

ℝ

(0 - 1) \cdot (0 - 4) \cdot A = -5

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 1

-1

0 - 4

-4

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-1 \cdot (-4)

4

⇥

4 A = -5

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

4

⇥Solución obtenida:

A = - \frac{5}{4}

⇥Para el factor simple

s - 1

y su raíz

1

, calculamos la incógnita B multiplicando por el denominador

s \cdot (s^{2} - 5 s + 4)

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥4) Resolvamos en

ℝ

1 \cdot (1 - 4) \cdot B = -5

⇥

(1 - 4) \cdot B = -5

⇥ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

1 - 4

-3

⇥

- 3 B = -5

⇥

3 B = 5

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

3

⇥Solución obtenida:

B = \frac{5}{3}

⇥Para el factor simple

s - 4

y su raíz

4

, calculamos la incógnita C multiplicando por el denominador

s \cdot (s^{2} - 5 s + 4)

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥5) Resolvamos en

ℝ

4 \cdot (4 - 1) \cdot C = -5

⇥ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

4 - 1

3

⇥

4 \cdot 3 C = -5

⇥ⅰ

4 \cdot 3

12

⇥

12 C = -5

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

12

⇥Solución obtenida:

C = - \frac{5}{12}

⇥6) Finalmente, sustituimos los valores de las incógnitas en la descomposición racional inicial:

⇥

- \frac{5}{s \cdot (s - 1) \cdot (s - 4)} = - \frac{5}{4 s} + \frac{5}{3 \cdot (s - 1)} - \frac{5}{12 \cdot (s - 4)}

Buscamos la transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linealidad, invertimos cada fracción simple

Antes de aplicar la fórmula, normalizamos el polo:

- \frac{5}{4 s} = - \frac{\frac{5}{4}}{s}

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

- \frac{\frac{5}{4}}{s}

\frac{- \frac{5}{4} \cdot \exp (0 \cdot t)}{0!}

Antes de aplicar la fórmula, normalizamos el polo:

\frac{5}{3 \cdot (s - 1)} = \frac{\frac{5}{3}}{s - 1}

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

\frac{\frac{5}{3}}{s - 1}

\frac{\frac{5}{3} \cdot \exp (t)}{0!}

Antes de aplicar la fórmula, normalizamos el polo:

- \frac{5}{12 \cdot (s - 4)} = - \frac{\frac{5}{12}}{s - 4}

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

- \frac{\frac{5}{12}}{s - 4}

\frac{- \frac{5}{12} \cdot \exp (4 t)}{0!}

⇥

\frac{- \frac{5}{4} \cdot \exp (0 \cdot t)}{0!} + \frac{\frac{5}{3} \cdot \exp (t)}{0!} + \frac{- \frac{5}{12} \cdot \exp (4 t)}{0!}

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot t

0

■Todo número no nulo elevado a 0 vale 1:

\exp (0)

1

■Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{5}{3} \cdot \exp (t)

\frac{5 \exp (t)}{3}

- \frac{5}{12} \cdot \exp (4 t)

- \frac{5 \exp (4 t)}{12}

■Por convenio, el factorial de 0 vale 1:

0!

1

⇥

- \frac{\frac{5}{4}}{0!} + \frac{\frac{5 \exp (t)}{3}}{1} - \frac{\frac{5 \exp (4 t)}{12}}{1}

⇥ⓘ Por convenio, el factorial de 0 vale 1:

0!

1

⇥

- \frac{\frac{5}{4}}{1} + \frac{5 \exp (t)}{3} - \frac{5 \exp (4 t)}{12}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- \frac{5}{4} - \frac{5 \exp (4 t)}{12}

\frac{3 \cdot (-5) - 5 \exp (4 t)}{12}

⇥

\frac{3 \cdot (-5) - 5 \exp (4 t)}{12} + \frac{5 \exp (t)}{3}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

3 \cdot (-5)

-15

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 15 - 5 \exp (4 t)

- (15 + 5 \exp (4 t))

⇥

- \frac{15 + 5 \exp (4 t)}{12} + \frac{5 \exp (t)}{3}

▶Transformada inversa de Laplace:

\frac{5 \exp (t)}{3} - \frac{5 \exp (4 t) + 15}{12}