transformada inversa de Laplace de (s-10)/(s^2-2s-3)

⇥1) Factoricemos en

ℝ

s^{2} - 2 s - 3

⇥Dada la forma cuadrática

a s^{2} + b s + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -2

c = -3

⇥

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3)

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

⇥

Δ = 4 - 4 \cdot (-3)

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-3)

12

⇥

Δ = 4 + 12

⇥ⓘ Partimos de

4

y avanzamos

12

en la recta numérica:

4 + 12

16

⇥

Δ = 16

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

s_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{1} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{16}

4

ya que

4^{2}

16

⇥

s_{1} = \frac{2 - 4}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

2 - 4

-2

⇥

s_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{2}{2}

-1

⇥

s_{1} = -1

⇥La fórmula de segundo grado da

s_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{2} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{16}

4

ya que

4^{2}

16

⇥

s_{2} = \frac{2 + 4}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

2 + 4

6

⇥

s_{2} = \frac{6}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{6}{2}

3

⇥

s_{2} = 3

⇥Factores encontrados:

(s + 1) \cdot (s - 3)

⇥2) Podemos descomponer en fracciones simples:

⇥

\frac{s - 10}{(s + 1) \cdot (s - 3)} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s - 3}

⇥Para el factor simple

s + 1

y su raíz

-1

, calculamos la incógnita A multiplicando por el denominador

s^{2} - 2 s - 3

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥3) Resolvamos en

ℝ

(- 1 - 3) \cdot A = - 1 - 10

⇥ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

- 1 - 3

-4

■Partimos de

-1

y retrocedemos otros

10

en la recta numérica, alejándonos del cero:

- 1 - 10

-11

⇥

- 4 A = -11

⇥

4 A = 11

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

4

⇥Solución obtenida:

A = \frac{11}{4}

⇥Para el factor simple

s - 3

y su raíz

3

, calculamos la incógnita B multiplicando por el denominador

s^{2} - 2 s - 3

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥4) Resolvamos en

ℝ

(3 + 1) \cdot B = 3 - 10

⇥ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

3 + 1

4

■Partimos de

3

y retrocedemos

10

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

3 - 10

-7

⇥

4 B = -7

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

4

⇥Solución obtenida:

B = - \frac{7}{4}

⇥5) Finalmente, sustituimos los valores de las incógnitas en la descomposición racional inicial:

⇥

\frac{s - 10}{(s + 1) \cdot (s - 3)} = \frac{11}{4 \cdot (s + 1)} - \frac{7}{4 \cdot (s - 3)}

Buscamos la transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linealidad, invertimos cada fracción simple

Antes de aplicar la fórmula, normalizamos el polo:

\frac{11}{4 \cdot (s + 1)} = \frac{\frac{11}{4}}{s + 1}

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

\frac{\frac{11}{4}}{s + 1}

\frac{\frac{11}{4} \cdot \exp (-1 \cdot t)}{0!}

Antes de aplicar la fórmula, normalizamos el polo:

- \frac{7}{4 \cdot (s - 3)} = - \frac{\frac{7}{4}}{s - 3}

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

- \frac{\frac{7}{4}}{s - 3}

\frac{- \frac{7}{4} \cdot \exp (3 t)}{0!}

⇥

\frac{\frac{11}{4} \cdot \exp (-1 \cdot t)}{0!} + \frac{- \frac{7}{4} \cdot \exp (3 t)}{0!}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{11}{4} \cdot \exp (-1 \cdot t)

\frac{11 \exp (-1 \cdot t)}{4}

- \frac{7}{4} \cdot \exp (3 t)

- \frac{7 \exp (3 t)}{4}

■Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot t

- t

■Por convenio, el factorial de 0 vale 1:

0!

1

⇥

\frac{\frac{11 \exp (- t)}{4}}{1} - \frac{\frac{7 \exp (3 t)}{4}}{1}

ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

\frac{11 \exp (- t)}{4}

\frac{11}{4 \exp (t)}

▶Transformada inversa de Laplace:

\frac{11}{4 \exp (t)} - \frac{7 \exp (3 t)}{4}