transformada inversa de Laplace de f(s)= 1/(s(s-3))

⇥1) Podemos descomponer en fracciones simples:

⇥

\frac{1}{s \cdot (s - 3)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - 3}

⇥Para el factor simple

s

y su raíz

0

, calculamos la incógnita A multiplicando por el denominador

s \cdot (s - 3)

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥2) Resolvamos en

ℝ

(0 - 3) \cdot A = 1

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 3

-3

⇥

- 3 A = 1

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

-3

⇥

A = \frac{1}{-3}

⇥ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{1}{-3}

- \frac{1}{3}

⇥Solución obtenida:

A = - \frac{1}{3}

⇥Para el factor simple

s - 3

y su raíz

3

, calculamos la incógnita B multiplicando por el denominador

s \cdot (s - 3)

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

⇥3) Resolvamos en

ℝ

3 B = 1

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

3

⇥Solución obtenida:

B = \frac{1}{3}

⇥4) Finalmente, sustituimos los valores de las incógnitas en la descomposición racional inicial:

⇥

\frac{1}{s \cdot (s - 3)} = - \frac{1}{3 s} + \frac{1}{3 \cdot (s - 3)}

Buscamos la transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linealidad, invertimos cada fracción simple

Antes de aplicar la fórmula, normalizamos el polo:

\frac{1}{3 \cdot (s - 3)} = \frac{\frac{1}{3}}{s - 3}

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

\frac{\frac{1}{3}}{s - 3}

\frac{\frac{1}{3} \cdot \exp (3 t)}{0!}

Antes de aplicar la fórmula, normalizamos el polo:

- \frac{1}{3 s} = - \frac{\frac{1}{3}}{s}

La fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, por lo que para

- \frac{\frac{1}{3}}{s}

\frac{- \frac{1}{3} \cdot \exp (0 \cdot t)}{0!}

⇥

\frac{\frac{1}{3} \cdot \exp (3 t)}{0!} + \frac{- \frac{1}{3} \cdot \exp (0 \cdot t)}{0!}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{3} \cdot \exp (3 t)

\frac{1 \cdot \exp (3 t)}{3}

\frac{\exp (3 t)}{3}

■Por convenio, el factorial de 0 vale 1:

0!

1

■Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot t

0

■Todo número no nulo elevado a 0 vale 1:

\exp (0)

1

⇥

\frac{\frac{\exp (3 t)}{3}}{1} - \frac{\frac{1}{3}}{0!}

⇥ⓘ Por convenio, el factorial de 0 vale 1:

0!

1

⇥

\frac{\exp (3 t)}{3} - \frac{\frac{1}{3}}{1}

▶Transformada inversa de Laplace:

\frac{\exp (3 t)}{3} - \frac{1}{3}