x-1=(2-x)^2 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

x - 1 = {(2 - x)}^{2}

x - 1 - {(2 - x)}^{2} = 0

ⓘ Elevar una suma a una potencia entera estrictamente positiva consiste en multiplicarla por sí misma tantas veces como indica el exponente:

{(2 - x)}^{2}

(2 - x) \cdot (2 - x)

x - 1 - (2 - x) \cdot (2 - x) = 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- (2 - x) \cdot (2 - x)

- (2 \cdot 2

+ 2 \cdot (- x)

- x \cdot 2

- x \cdot (- x))

x - 1 - (2 \cdot 2

+ 2 \cdot (- x)

- x \cdot 2

- x \cdot (- x)) = 0

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (2 \cdot 2

+ 2 \cdot (- x)

- x \cdot 2

- x \cdot (- x))

- 2 \cdot 2

- 2 \cdot (- x)

+ x \cdot 2

+ x \cdot (- x)

x

- 1

- 2 \cdot 2

- 2 \cdot (- x)

+ x \cdot 2

+ x \cdot (- x) = 0

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 2

4

■Dos signos menos se cancelan:

-2 \cdot (- x)

2 x

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x + x \cdot 2

3 x

■Colocamos el signo menos delante del producto:

x \cdot (- x)

- x \cdot x

3 x

- 1

- 4

+ 2 x

- x \cdot x = 0

ⓘ Partimos de

-1

y retrocedemos otros

4

en la recta numérica, alejándonos del cero:

- 1 - 4

-5

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

3 x + 2 x

5 x

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

5 x - 5 - x^{2} = 0

- x^{2} + 5 x - 5 = 0

Como

-1 \neq 0

, dividimos ambos miembros por

-1

x^{2} - 5 x + 5 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -5

c = 5

Δ = {(-5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-5)}^{2}

(-5) \cdot (-5)

25

Δ = 25 - 4 \cdot 5

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 5

20

Δ = 25 - 20

ⓘ Partimos de

25

y retrocedemos

20

en la recta numérica:

25 - 20

5

Δ = 5

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) - \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) + \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}

▶Soluciones encontradas:

x = {\frac{5 - \sqrt{5}}{2}; \frac{5 + \sqrt{5}}{2}}

2) El valor numérico de:

x = {\frac{5 - \sqrt{5}}{2}; \frac{5 + \sqrt{5}}{2}}

es:

x = {\approx \frac{5 - 2,2361}{2}; \approx \frac{5 + 2,2361}{2}}

x = {\approx \frac{2,7639}{2}; \approx \frac{7,2361}{2}}

▷

x = {\approx 1,3820; \approx 3,6180}