x^2+10x-1=0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

x^{2} + 10 x - 1 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 10

c = -1

Δ = 10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

10^{2}

10 \cdot 10

100

Δ = 100 - 4 \cdot (-1)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-1)

4

Δ = 100 + 4

ⓘ Partimos de

100

y avanzamos

4

en la recta numérica:

100 + 4

104

Δ = 104

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 10 - \sqrt{104}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 10 - \sqrt{104}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

104

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{104}

\sqrt{4 \cdot 26}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{26}

2 \cdot \sqrt{26}

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 10 - 2 \cdot \sqrt{26}

- (10 + 2 \cdot \sqrt{26})

x_{1} = - \frac{10 + 2 \cdot \sqrt{26}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{10 + 2 \cdot \sqrt{26}}{2}

- \frac{2 \cdot (5 + \sqrt{26})}{2}

- (5 + \sqrt{26})

x_{1} = - (5 + \sqrt{26})

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (5 + \sqrt{26})

- 5 - \sqrt{26}

x_{1} = - 5 - \sqrt{26}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 10 + \sqrt{104}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 10 + \sqrt{104}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

104

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{104}

\sqrt{4 \cdot 26}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{26}

2 \cdot \sqrt{26}

x_{2} = \frac{- 10 + 2 \cdot \sqrt{26}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{- 10 + 2 \cdot \sqrt{26}}{2}

\frac{2 \cdot (- 5 + \sqrt{26})}{2}

- 5 + \sqrt{26}

x_{2} = - 5 + \sqrt{26}

▶Soluciones obtenidas:

x = {- \sqrt{26} - 5; \sqrt{26} - 5}

2) El valor numérico de:

x = {- \sqrt{26} - 5; \sqrt{26} - 5}

es:

x = {\approx - 5,0990 - 5; \approx 5,0990 - 5}

▷

x = {\approx -10,0990; \approx 9,902 \times 10^{- 2}}