x^2+21x-20>= 4x-80 — solución paso a paso

Resolvamos en

ℝ

x^{2} + 21 x - 20 \geq 4 x - 80

x^{2}

+ 21 x

- 20

- 4 x

+ 80 \geq 0

ⓘ Partimos de

-20

y avanzamos

80

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 20 + 80

60

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

21 x - 4 x

17 x

x^{2} + 17 x + 60 \geq 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 17

c = 60

Δ = 17^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 60

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

17^{2}

17 \cdot 17

289

Δ = 289 - 4 \cdot 60

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 60

240

Δ = 289 - 240

ⓘ Partimos de

289

y retrocedemos

240

en la recta numérica:

289 - 240

49

Δ = 49

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 17 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 17 - \sqrt{49}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{49}

7

ya que

7^{2}

49

x_{1} = \frac{- 17 - 7}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 17 - 7

-24

x_{1} = - \frac{24}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{24}{2}

-12

x_{1} = -12

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 17 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 17 + \sqrt{49}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{49}

7

ya que

7^{2}

49

x_{2} = \frac{- 17 + 7}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 17 + 7

-10

x_{2} = - \frac{10}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{10}{2}

-5

x_{2} = -5

El trinomio tiene el signo de a (

1

) fuera de sus raíces, por lo que es positivo fuera de ellas; las raíces, donde se anula, están incluidas.

▶Solución obtenida:

x \in] -∞; -12] \cup [-5; +∞ [