x^2+3x-12>0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

x^{2} + 3 x - 12 > 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 3

c = -12

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

Δ = 9 - 4 \cdot (-12)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-12)

4 \cdot 12

4 \cdot (10 + 2)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 2

40 + 8

48

Δ = 9 + 48

ⓘ Partimos de

9

y avanzamos

48

en la recta numérica:

9 + 48

57

Δ = 57

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 - \sqrt{57}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{57}}{2}

ⓘ Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 3 - \sqrt{57}

- (3 + \sqrt{57})

x_{1} = - \frac{3 + \sqrt{57}}{2}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 + \sqrt{57}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{57}}{2}

El trinomio tiene el signo de a (

1

) fuera de sus raíces, por lo que es positivo fuera de ellas; las raíces, donde se anula, están excluidas.

▶Solución obtenida:

x \in] -∞; - \frac{3 + \sqrt{57}}{2} [\cup] \frac{\sqrt{57} - 3}{2}; +∞ [

2) El valor numérico de:

x \in] -∞; - \frac{3 + \sqrt{57}}{2} [\cup] \frac{\sqrt{57} - 3}{2}; +∞ [

vale:

x \in] -∞; - \frac{3 + \approx 7,5498}{2} [\cup] \frac{\approx 7,5498 - 3}{2}; +∞ [

x \in] -∞; - \frac{\approx 10,5498}{2} [\cup] \frac{\approx 4,5498}{2}; +∞ [

▷

x \in] -∞; \approx -5,2749 [\cup] \approx 2,2749; +∞ [