x^2+4x-16=0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

x^{2} + 4 x - 16 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 4

c = -16

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-16)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

4^{2}

4 \cdot 4

16

Δ = 16 - 4 \cdot (-16)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-16)

4 \cdot 16

4 \cdot (10 + 6)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 6

40 + 24

64

Δ = 16 + 64

ⓘ Partimos de

16

y avanzamos

64

en la recta numérica:

16 + 64

80

Δ = 80

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 - \sqrt{80}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{80}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

80

16

4^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{80}

\sqrt{16 \cdot 5}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{5}

4 \cdot \sqrt{5}

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 4 - 4 \cdot \sqrt{5}

- (4 + 4 \cdot \sqrt{5})

x_{1} = - \frac{4 + 4 \cdot \sqrt{5}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{4 + 4 \cdot \sqrt{5}}{2}

- \frac{2 \cdot (2 + 2 \cdot \sqrt{5})}{2}

- (2 + 2 \cdot \sqrt{5})

x_{1} = - (2 + 2 \cdot \sqrt{5})

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (2 + 2 \cdot \sqrt{5})

- 2 - 2 \cdot \sqrt{5}

x_{1} = - 2 - 2 \cdot \sqrt{5}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 + \sqrt{80}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{80}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

80

16

4^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{80}

\sqrt{16 \cdot 5}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{5}

4 \cdot \sqrt{5}

x_{2} = \frac{- 4 + 4 \cdot \sqrt{5}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{- 4 + 4 \cdot \sqrt{5}}{2}

\frac{2 \cdot (- 2 + 2 \cdot \sqrt{5})}{2}

- 2 + 2 \cdot \sqrt{5}

x_{2} = - 2 + 2 \cdot \sqrt{5}

▶Soluciones obtenidas:

x = {- 2 \cdot \sqrt{5} - 2; 2 \cdot \sqrt{5} - 2}

2) El valor numérico de:

x = {- 2 \cdot \sqrt{5} - 2; 2 \cdot \sqrt{5} - 2}

vale:

x = {\approx - 2 \cdot 2,2361 - 2; \approx 2 \cdot 2,2361 - 2}

x = {\approx - 4,4721 - 2; \approx 4,4721 - 2}

▷

x = {\approx -6,4721; \approx 2,4721}