x^2+(-(3x)/7)^2=16 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

x^{2} + {(- \frac{3 x}{7})}^{2} = 16

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Con un exponente entero par, el signo menos de la base desaparece; con un exponente entero impar, pasa delante de la potencia:

{(- \frac{3 x}{7})}^{2}

{(\frac{3 x}{7})}^{2}

x^{2} + {(\frac{3 x}{7})}^{2} = 16

ⓘ Restamos

16

a ambos miembros

x^{2} + {(\frac{3 x}{7})}^{2} - 16 = 0

ⓘ La potencia de un cociente es el cociente de las potencias,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{3 x}{7})}^{2}

\frac{{(3 x)}^{2}}{7^{2}}

x^{2} + \frac{{(3 x)}^{2}}{7^{2}} - 16 = 0

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

7^{2}

7 \cdot 7

49

x^{2} + \frac{{(3 x)}^{2}}{49} - 16 = 0

ⓘ La potencia de un producto es el producto de las potencias:

{(3 x)}^{2}

3^{2} \cdot x^{2}

x^{2} + \frac{3^{2} \cdot x^{2}}{49} - 16 = 0

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

x^{2} + \frac{9 x^{2}}{49} - 16 = 0

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x^{2} + \frac{9 x^{2}}{49}

\frac{58 x^{2}}{49}

\frac{58 x^{2}}{49} - 16 = 0

Como

2 \neq 0

, dividimos ambos miembros por

2

\frac{29 x^{2}}{49} - 8 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 29 \cdot \frac{1}{49}

b = 0

c = -8

Δ = 0^{2} - 4 \cdot 29 \cdot \frac{1}{49} \cdot (-8)

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 4 \cdot 29 \cdot \frac{1}{49} \cdot (-8)

- 4 \cdot 29 \cdot \frac{1}{49} \cdot (-8)

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-4 \cdot (-8)

4 \cdot 8

Δ = 4 \cdot 29 \cdot \frac{1}{49} \cdot 8

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

116 \cdot \frac{1}{49} \cdot 8

\frac{116 \cdot 1 \cdot 8}{49}

\frac{116 \cdot 8}{49}

ⅰ

4 \cdot 29

4 \cdot (20 + 9)

4 \cdot 20 + 4 \cdot 9

80 + 36

116

Δ = \frac{116 \cdot 8}{49}

ⅰ

116 \cdot 8

(100 + 10 + 6) \cdot 8

100 \cdot 8 + 10 \cdot 8 + 6 \cdot 8

800 + 80 + 48

928

Δ = \frac{928}{49}

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 0 - \sqrt{\frac{928}{49}}}{2 \cdot 29 \cdot \frac{1}{49}}

x_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{928}{49}}}{2 \cdot 29 \cdot \frac{1}{49}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

58 \cdot \frac{1}{49}

\frac{58 \cdot 1}{49}

\frac{58}{49}

ⅰ

2 \cdot 29

2 \cdot (20 + 9)

2 \cdot 20 + 2 \cdot 9

40 + 18

58

x_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{928}{49}}}{\frac{58}{49}}

ⓘ Dividir equivale a multiplicar por el inverso:

- \frac{\sqrt{\frac{928}{49}}}{\frac{58}{49}}

- \sqrt{\frac{928}{49}} \cdot \frac{49}{58}

x_{1} = - \sqrt{\frac{928}{49}} \cdot \frac{49}{58}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

- \sqrt{\frac{928}{49}} \cdot \frac{49}{58}

- \frac{\sqrt{\frac{928}{49}} \cdot 49}{58}

x_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{928}{49}} \cdot 49}{58}

ⓘ La raíz de un cociente es el cociente de las raíces,

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

\sqrt{\frac{928}{49}}

\frac{\sqrt{928}}{\sqrt{49}}

x_{1} = - \frac{\frac{\sqrt{928}}{\sqrt{49}} \cdot 49}{58}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

928

16

4^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{928}

\sqrt{16 \cdot 58}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{58}

4 \cdot \sqrt{58}

■La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{49}

7

ya que

7^{2}

49

x_{1} = - \frac{\frac{4 \cdot \sqrt{58}}{7} \cdot 49}{58}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

\frac{4 \cdot \sqrt{58}}{7} \cdot 49

\frac{4 \cdot \sqrt{58} \cdot 49}{7}

\frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7}

x_{1} = - \frac{\frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7}}{58}

ⓘ Dividir una fracción por

58

equivale a multiplicar su denominador por

58

- \frac{\frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7}}{58}

- \frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7 \cdot 58}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7 \cdot 58}

- \frac{28 \cdot \sqrt{58}}{58}

x_{1} = - \frac{28 \cdot \sqrt{58}}{58}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{28 \cdot \sqrt{58}}{58}

- \frac{14 \cdot \sqrt{58}}{29}

x_{1} = - \frac{14 \cdot \sqrt{58}}{29}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 0 + \sqrt{\frac{928}{49}}}{2 \cdot 29 \cdot \frac{1}{49}}

x_{2} = \frac{\sqrt{\frac{928}{49}}}{2 \cdot 29 \cdot \frac{1}{49}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

58 \cdot \frac{1}{49}

\frac{58 \cdot 1}{49}

\frac{58}{49}

ⅰ

2 \cdot 29

2 \cdot (20 + 9)

2 \cdot 20 + 2 \cdot 9

40 + 18

58

x_{2} = \frac{\sqrt{\frac{928}{49}}}{\frac{58}{49}}

ⓘ Dividir equivale a multiplicar por el inverso:

\frac{\sqrt{\frac{928}{49}}}{\frac{58}{49}}

\sqrt{\frac{928}{49}} \cdot \frac{49}{58}

x_{2} = \sqrt{\frac{928}{49}} \cdot \frac{49}{58}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\sqrt{\frac{928}{49}} \cdot \frac{49}{58}

\frac{\sqrt{\frac{928}{49}} \cdot 49}{58}

x_{2} = \frac{\sqrt{\frac{928}{49}} \cdot 49}{58}

ⓘ La raíz de un cociente es el cociente de las raíces,

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

\sqrt{\frac{928}{49}}

\frac{\sqrt{928}}{\sqrt{49}}

x_{2} = \frac{\frac{\sqrt{928}}{\sqrt{49}} \cdot 49}{58}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

928

16

4^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{928}

\sqrt{16 \cdot 58}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{58}

4 \cdot \sqrt{58}

■La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{49}

7

ya que

7^{2}

49

x_{2} = \frac{\frac{4 \cdot \sqrt{58}}{7} \cdot 49}{58}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

\frac{4 \cdot \sqrt{58}}{7} \cdot 49

\frac{4 \cdot \sqrt{58} \cdot 49}{7}

\frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7}

x_{2} = \frac{\frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7}}{58}

ⓘ Dividir una fracción por

58

equivale a multiplicar su denominador por

58

\frac{\frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7}}{58}

\frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7 \cdot 58}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7 \cdot 58}

\frac{28 \cdot \sqrt{58}}{58}

x_{2} = \frac{28 \cdot \sqrt{58}}{58}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{28 \cdot \sqrt{58}}{58}

\frac{14 \cdot \sqrt{58}}{29}

x_{2} = \frac{14 \cdot \sqrt{58}}{29}

▶Soluciones obtenidas:

x = {- \frac{14 \cdot \sqrt{58}}{29}; \frac{14 \cdot \sqrt{58}}{29}}

2) El valor numérico de:

x = {- \frac{14 \cdot \sqrt{58}}{29}; \frac{14 \cdot \sqrt{58}}{29}}

vale:

x = {\approx - \frac{14 \cdot 7,6158}{29}; \approx \frac{14 \cdot 7,6158}{29}}

x = {\approx - \frac{106,6208}{29}; \approx \frac{106,6208}{29}}

▷

x = {\approx -3,6766; \approx 3,6766}