x^2-12x+3<0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 12 x + 3 < 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -12

c = 3

Δ = {(-12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-12)}^{2}

(-12) \cdot (-12)

144

Δ = 144 - 4 \cdot 3

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 3

12

Δ = 144 - 12

ⓘ Partimos de

144

y retrocedemos

12

en la recta numérica:

144 - 12

132

Δ = 132

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-12) - \sqrt{132}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{12 - \sqrt{132}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

132

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{132}

\sqrt{4 \cdot 33}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{33}

2 \cdot \sqrt{33}

x_{1} = \frac{12 - 2 \cdot \sqrt{33}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{12 - 2 \cdot \sqrt{33}}{2}

\frac{2 \cdot (6 - \sqrt{33})}{2}

6 - \sqrt{33}

x_{1} = 6 - \sqrt{33}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-12) + \sqrt{132}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{12 + \sqrt{132}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

132

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{132}

\sqrt{4 \cdot 33}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{33}

2 \cdot \sqrt{33}

x_{2} = \frac{12 + 2 \cdot \sqrt{33}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{12 + 2 \cdot \sqrt{33}}{2}

\frac{2 \cdot (6 + \sqrt{33})}{2}

6 + \sqrt{33}

x_{2} = 6 + \sqrt{33}

El trinomio tiene signo opuesto al de a (

1

) entre sus raíces, por lo que es negativo entre ellas; las raíces, donde se anula, están excluidas.

▶Solución encontrada:

x \in] 6 - \sqrt{33}; 6 + \sqrt{33} [

2) El valor numérico de:

x \in] 6 - \sqrt{33}; 6 + \sqrt{33} [

es:

x \in] 6 - \approx 5,7446; 6 + \approx 5,7446 [

▷

x \in] \approx 0,2554; \approx 11,7446 [