x^2-5x-5=0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 5 x - 5 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -5

c = -5

Δ = {(-5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-5)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-5)}^{2}

(-5) \cdot (-5)

25

Δ = 25 - 4 \cdot (-5)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-5)

20

Δ = 25 + 20

ⓘ Partimos de

25

y avanzamos

20

en la recta numérica:

25 + 20

45

Δ = 45

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) - \sqrt{45}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{5 - \sqrt{45}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

45

9

3^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{45}

\sqrt{9 \cdot 5}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{5}

3 \cdot \sqrt{5}

x_{1} = \frac{5 - 3 \cdot \sqrt{5}}{2}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) + \sqrt{45}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{5 + \sqrt{45}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

45

9

3^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{45}

\sqrt{9 \cdot 5}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{5}

3 \cdot \sqrt{5}

x_{2} = \frac{5 + 3 \cdot \sqrt{5}}{2}

▶Soluciones obtenidas:

x = {\frac{5 - 3 \cdot \sqrt{5}}{2}; \frac{5 + 3 \cdot \sqrt{5}}{2}}

2) El valor numérico de:

x = {\frac{5 - 3 \cdot \sqrt{5}}{2}; \frac{5 + 3 \cdot \sqrt{5}}{2}}

es:

x = {\approx \frac{5 - 3 \cdot 2,2361}{2}; \approx \frac{5 + 3 \cdot 2,2361}{2}}

x = {\approx \frac{5 - 6,7082}{2}; \approx \frac{5 + 6,7082}{2}}

x = {\approx - \frac{1,7082}{2}; \approx \frac{11,7082}{2}}

▷

x = {\approx -0,8541; \approx 5,8541}