x^3>2x+x^2 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

x^{3} > 2 x + x^{2}

Podemos factorizar la expresión

x^{3} - x^{2} - 2 x

como

x \cdot (x^{2} - x - 2)

Estudiamos el signo de cada factor del producto

⇥La expresión

x

se anula en

x = 0

y es negativa antes y positiva después

Estudiemos el signo de

x^{2} - x - 2

ampliando la comparación a ≥ y resolviendo en

ℝ

x^{2} - x - 2 \geq 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -1

c = -2

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-2)

8

Δ = 1 + 8

ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

8

en la recta numérica:

1 + 8

9

Δ = 9

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

x_{1} = \frac{1 - 3}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 - 3

-2

x_{1} = - \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{2}{2}

-1

x_{1} = -1

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

x_{2} = \frac{1 + 3}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 3

4

x_{2} = \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{4}{2}

2

x_{2} = 2

El trinomio tiene el signo de a (

1

) fuera de sus raíces, por lo que es positivo fuera de ellas; las raíces, donde se anula, están incluidas.

Solución obtenida:

x \in] -∞; -1] \cup [2; +∞ [

⇥Por tanto, la expresión

x^{2} - x - 2

es positiva o nula en

] -∞; -1] \cup [2; +∞ [

y negativa en los demás puntos

2) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$-1$		$0$		$2$		$+∞$
$x$		-		-	0	+		+
$x^{2} - x - 2$		+	0	-		-	0	+
$x^{3} - (2 x + x^{2})$		-	0	+	0	-	0	+

▶Solución obtenida:

x \in] -1; 0 [\cup] 2; +∞ [