x^3-7x^2+10x<0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

x^{3} - 7 x^{2} + 10 x < 0

Podemos factorizar la expresión

x^{3} - 7 x^{2} + 10 x

como

x \cdot (x^{2} - 7 x + 10)

Estudiamos el signo de cada factor del producto

⇥La expresión

x

se anula en

x = 0

y es negativa antes y positiva después

Estudiemos el signo de

x^{2} - 7 x + 10

ampliando la comparación a ≤ y resolviendo en

ℝ

x^{2} - 7 x + 10 \leq 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -7

c = 10

Δ = {(-7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-7)}^{2}

(-7) \cdot (-7)

49

Δ = 49 - 4 \cdot 10

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 10

40

Δ = 49 - 40

ⓘ Partimos de

49

y retrocedemos

40

en la recta numérica:

49 - 40

9

Δ = 9

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{7 - \sqrt{9}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

x_{1} = \frac{7 - 3}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

7 - 3

4

x_{1} = \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{4}{2}

2

x_{1} = 2

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{7 + \sqrt{9}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

x_{2} = \frac{7 + 3}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

7 + 3

10

x_{2} = \frac{10}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{10}{2}

5

x_{2} = 5

El trinomio tiene signo opuesto al de a (

1

) entre sus raíces, por lo que es negativo entre ellas; las raíces, donde se anula, están incluidas.

Solución encontrada:

x \in [2; 5]

⇥Por tanto, la expresión

x^{2} - 7 x + 10

es negativa o nula en

[2; 5]

y positiva en los demás puntos

2) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$0$		$2$		$5$		$+∞$
$x$		-	0	+		+		+
$x^{2} - 7 x + 10$		+		+	0	-	0	+
$x^{3} - 7 x^{2} + 10 x$		-	0	+	0	-	0	+

▶Solución obtenida:

x \in] -∞; 0 [\cup] 2; 5 [