x^4>36x^2 — solución paso a paso | Explain MAths

x^4>36x^2

1) Resolvamos en

ℝ

:

x^{4} > 36 x^{2}

x^{4} - 36 x^{2} > 0

Para

x^{4} - 36 x^{2}

, reconocemos una diferencia de cuadrados:

{(x^{2})}^{2} - {(6 x)}^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, con

a = x^{2}

y

b = 6 x

Podemos factorizar la expresión

x^{4} - 36 x^{2}

como

(x^{2} - 6 x) \cdot (x^{2} + 6 x)

2) Resolvamos en

ℝ

:

(x^{2} - 6 x) \cdot (x^{2} + 6 x) > 0

Estudiamos el signo de cada factor del producto

⇥2.1) Estudiemos el signo de

x^{2} - 6 x

ampliando la comparación a ≥ y resolviendo en

ℝ

:

x^{2} - 6 x \geq 0

⇥Podemos factorizar la expresión como:

x \cdot (x - 6)

⇥Estudiamos el signo de cada factor del producto

⇥⇥La expresión

x

se anula en

x = 0

y es negativa antes y positiva después

⇥⇥La expresión

x - 6

se anula en

x = 6

y es negativa antes y positiva después

⇥2.2) Estudiemos el signo de

x^{2} + 6 x

ampliando la comparación a ≥ y resolviendo en

ℝ

:

x^{2} + 6 x \geq 0

⇥Podemos factorizar la expresión como:

x \cdot (x + 6)

⇥Estudiamos el signo de cada factor del producto

⇥⇥La expresión

x

se anula en

x = 0

y es negativa antes y positiva después

⇥⇥La expresión

x + 6

se anula en

x = -6

y es negativa antes y positiva después

3) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$-6$		$0$		$6$		$+∞$
$x$		-		-	0	+		+
$x - 6$		-		-		-	0	+
$x$		-		-	0	+		+
$x + 6$		-	0	+		+		+
$x^{4} - 36 x^{2}$		+	0	-	0	-	0	+

▶Solución encontrada:

x \in] -∞; -6 [\cup] 6; +∞ [