xydx-(1+x^2)dy=0 — solución paso a paso

⚠ xydx-(1+x^2)dy = 0 se interpreta como la ecuación diferencial y' = (xy)/(1+x^2): dividimos por dx y despejamos y', derivada de y respecto a x■xy se interpreta como el producto x*y: para la variable xy, escribe xy_

1) Resolvamos la ecuación separable

y' = \frac{x y}{1 + x^{2}}

, donde

y

es una función de

x

Antes de dividir,

y = 0

da la solución de equilibrio

y = 0

En los intervalos donde

y \neq 0

, separamos las variables:

\frac{dy}{y} = \frac{x}{x^{2} + 1} \cdot dx

⇥1.1) Integremos:

\int \frac{1}{y} d y

⇥ⓘ La derivada de

\ln | y |

\frac{1}{y}

, por lo que

\ln | y |

es una primitiva de

\frac{1}{y}

\int \frac{1}{y} d y

\ln | y |

⇥

\ln | y |

⇥1.2) Integremos:

\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x

⇥Para la expresión matemática

\frac{x}{x^{2} + 1}

, sabiendo que (ln(a))' = a'/a, intentamos derivar

\ln (x^{2} + 1)

⇥1.3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + 1))

⇥Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

con f =

x^{2} + 1

⇥ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + 1))

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot 1}{x^{2} + 1}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0}{x^{2} + 1}

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

\frac{2 x}{x^{2} + 1}

⇥La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

⇥ⓘ La derivada de

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)

\frac{x}{x^{2} + 1}

, por lo que

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)

es una primitiva de

\frac{x}{x^{2} + 1}

\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)

⇥

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)

\frac{1 \cdot \ln (x^{2} + 1)}{2}

\frac{\ln (x^{2} + 1)}{2}

⇥

\frac{\ln (x^{2} + 1)}{2}

Al integrar ambos miembros, obtenemos

\ln | y | = \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2} + C

, donde

C

es una constante real arbitraria

Aplicamos la exponencial:

| y | = \exp (C) \exp (\frac{\ln (x^{2} + 1)}{2})

\exp (C) \cdot \sqrt{x^{2} + 1}

, de donde

y = K \cdot \sqrt{x^{2} + 1}

con

K

= ±

\exp (C)

, una constante real no nula

K = 0

recupera la solución de equilibrio

y = 0

: las soluciones son

y = K \cdot \sqrt{x^{2} + 1}

, donde

K

es una constante real arbitraria

▶Solución:

y = K \cdot \sqrt{x^{2} + 1}