y=x^2-6x+8 — solución paso a paso

Guardamos la definición:

y = x^{2} - 6 x + 8

Estudiemos la función

y (x) = x^{2} - 6 x + 8

1) Busquemos el dominio de

x^{2} - 6 x + 8

ⓘ Esta expresión no impone restricciones a la variable real

Dominio de definición:

x \in ℝ

2) Estudiemos la paridad de

x^{2} - 6 x + 8

respecto a

x

El dominio es

x \in ℝ

Este dominio es simétrico respecto a 0: si

x

pertenece al dominio, -

x

también

Sustituimos

x

por -

x

: y(-

x

) =

{(- x)}^{2} - 6 \cdot (- x) + 8

Evaluemos:

{(- x)}^{2} - 6 \cdot (- x) + 8

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Con un exponente entero par, el signo menos de la base desaparece; con un exponente entero impar, pasa delante de la potencia:

{(- x)}^{2}

x^{2}

■Dos signos menos se cancelan:

-6 \cdot (- x)

6 x

x^{2} + 6 x + 8

y(-

x

) - y(

x

) =

12 x

y y(-

x

) + y(

x

) =

2 x^{2} + 16

son polinomios no nulos: la función no es par ni impar

Paridad: ni par ni impar

3) Derivabilidad

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x + 8)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + 0

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (- 6 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 6 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 6 x)

-6

Derivada:

2 x - 6

4) Estudiemos la variación de

y (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

y^{'} (x) = 2 x - 6

Resolvamos en

ℝ

2 x - 6 = 0

ⓘ Sumamos

6

a ambos miembros

2 x = 6

ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

x = \frac{6}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{6}{2}

3

Solución encontrada:

x = 3

y^{'} (x)

se anula en

x = 3

Formada por funciones usuales,

y^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

y^{'} (0) = -6

< 0:

y

es decreciente en

] -∞; 3 [

y^{'} (4) = 2

> 0:

y

es creciente en

] 3; +∞ [

Calculemos los valores de

y

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

Cuando

x

tiende a

-∞

y (x)

tiende a

+∞

y (3) = 3^{2} - 6 \cdot 3 + 8 = -1

Cuando

x

tiende a

+∞

y (x)

tiende a

+∞

Construyamos la tabla de variación:

$x$	$-∞$		$3$		$+∞$
$y^{'} (x)$		-	$0$	+
$y (x)$	$+∞$	↘	$-1$	↗	$+∞$

Por tanto,

y

es decreciente en

] -∞; 3]

y creciente en

[3; +∞ [

5) Leamos el conjunto imagen en la tabla de variación

⇥En

ℝ

y

es continua: toma todos los valores de

[-1; +∞ [

Conjunto imagen:

[-1; +∞ [

6) En el eje de abscisas, y = 0: resolvamos

x^{2} - 6 x + 8 = 0

Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 6 x + 8 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -6

c = 8

Δ = {(-6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-6)}^{2}

(-6) \cdot (-6)

36

Δ = 36 - 4 \cdot 8

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 8

32

Δ = 36 - 32

ⓘ Partimos de

36

y retrocedemos

32

en la recta numérica:

36 - 32

4

Δ = 4

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{4}

2

ya que

2^{2}

4

x_{1} = \frac{6 - 2}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

6 - 2

4

x_{1} = \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{4}{2}

2

x_{1} = 2

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{4}

2

ya que

2^{2}

4

x_{2} = \frac{6 + 2}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

6 + 2

8

x_{2} = \frac{8}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{8}{2}

4

x_{2} = 4

Soluciones encontradas:

x = {2; 4}

En el eje de ordenadas,

x = 0

: calculemos f(0)

⇥

0^{2} - 6 \cdot 0 + 8

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

-6 \cdot 0

0

■Sumar 0 no cambia nada:

0 + 8

8

⇥

0 + 8

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 8

8

⇥

8

Intersecciones con los ejes:

{(2; 0); (4; 0); (0; 8)}

7) Busquemos las asíntotas de

x^{2} - 6 x + 8

, para

x

real

x^{2} - 6 x + 8

es un polinomio de grado

2

: está definido en ℝ y

\frac{f (x)}{x}

tiende a infinito en -∞ y +∞; ninguna recta se aproxima a su curva

Por tanto, la función no tiene asíntotas

🖼/draw?f1=x%5E2+-+6*x+%2B+8&v=x&b=-10.0&e=10.0&min=-12.0&max=132.0

Asíntotas:

\emptyset

▶Estudio de $y (x)$ : Dominio de definición: $x \in ℝ$ ; Paridad: ni par ni impar; Derivada: $2 x - 6$ ; Conjunto imagen: $[-1; +∞ [$ ; Intersecciones con los ejes: ${(2; 0); (4; 0); (0; 8)}$ ; Asíntotas: $\emptyset$