y-5=y^2-y-9 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

y - 5 = y^{2} - y - 9

y

- 5

- y^{2}

+ y

+ 9 = 0

ⓘ Partimos de

-5

y avanzamos

9

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 5 + 9

4

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

y + y

2 y

2 y + 4 - y^{2} = 0

- y^{2} + 2 y + 4 = 0

Como

-1 \neq 0

, dividimos ambos miembros por

-1

y^{2} - 2 y - 4 = 0

Dada la forma cuadrática

a y^{2} + b y + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -2

c = -4

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

Δ = 4 - 4 \cdot (-4)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-4)

16

Δ = 4 + 16

ⓘ Partimos de

4

y avanzamos

16

en la recta numérica:

4 + 16

20

Δ = 20

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

y_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{20}}{2 \cdot 1}

y_{1} = \frac{2 - \sqrt{20}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

20

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{20}

\sqrt{4 \cdot 5}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{5}

2 \cdot \sqrt{5}

y_{1} = \frac{2 - 2 \cdot \sqrt{5}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 - 2 \cdot \sqrt{5}}{2}

\frac{2 \cdot (1 - \sqrt{5})}{2}

1 - \sqrt{5}

y_{1} = 1 - \sqrt{5}

La fórmula de segundo grado da

y_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{20}}{2 \cdot 1}

y_{2} = \frac{2 + \sqrt{20}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

20

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{20}

\sqrt{4 \cdot 5}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{5}

2 \cdot \sqrt{5}

y_{2} = \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{5}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 + 2 \cdot \sqrt{5}}{2}

\frac{2 \cdot (1 + \sqrt{5})}{2}

1 + \sqrt{5}

y_{2} = 1 + \sqrt{5}

▶Soluciones obtenidas:

y = {1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}}

2) El valor numérico de:

y = {1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}}

vale:

y = {\approx 1 - 2,2361; \approx 1 + 2,2361}

▷

y = {\approx -1,2361; \approx 3,2361}