y^{''}-2y^'+5y=5x+3 — solución paso a paso

⚠ y^{''}-2y^'+5y=5x+3 se interpreta como y''-2y'+5y=5x+3: escribe y' o y'' para una derivada

1) Resolvamos la ecuación diferencial

y'' - 2 y' + 5 y = 5 x + 3

, donde

y

es una función de

x

Para la ecuación homogénea, buscamos

\exp (r x)

: la ecuación característica es

r^{2} - 2 r + 5 = 0

2) Resolvamos en

ℂ

r^{2} - 2 r + 5 = 0

Dada la forma cuadrática

a r^{2} + b r + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -2

c = 5

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

Δ = 4 - 4 \cdot 5

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 5

20

Δ = 4 - 20

ⓘ Partimos de

4

y retrocedemos

20

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

4 - 20

-16

Δ = -16

Como

Δ < 0

, la ecuación tiene dos raíces en

ℂ

La fórmula de segundo grado da

r_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{-16}}{2 \cdot 1}

r_{1} = \frac{2 - \sqrt{-16}}{2}

ⓘ En ℂ, la raíz cuadrada principal de un real negativo es i por la raíz de su valor absoluto, ya que

i^{2} = -1

\sqrt{-16}

4 i

r_{1} = \frac{2 - 4 i}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 - 4 i}{2}

\frac{2 \cdot (1 - 2 i)}{2}

1 - 2 i

r_{1} = 1 - 2 i

La fórmula de segundo grado da

r_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{-16}}{2 \cdot 1}

r_{2} = \frac{2 + \sqrt{-16}}{2}

ⓘ En ℂ, la raíz cuadrada principal de un real negativo es i por la raíz de su valor absoluto, ya que

i^{2} = -1

\sqrt{-16}

4 i

r_{2} = \frac{2 + 4 i}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 + 4 i}{2}

\frac{2 \cdot (1 + 2 i)}{2}

1 + 2 i

r_{2} = 1 + 2 i

Soluciones encontradas:

r = {1 - 2 i; 1 + 2 i}

La solución homogénea es

C1 \cdot \cos (2 x) \cdot \exp (x) + C2 \cdot \exp (x) \cdot \sin (2 x)

Buscamos una solución particular

A x + B

. Sus derivadas son A y 0, por lo que

5 A = 5

- 2 A + 5 B = 3

Obtenemos A =

1

y B =

1

, por lo que la solución particular es

x + 1

ⓘ Comprobación:

- 2 + 5 \cdot (x + 1)

5 x + 3

La solución general es la suma de las soluciones homogénea y particular;

C1

C2

son constantes reales arbitrarias

▶Solución:

y = C1 \cdot \cos (2 x) \cdot \exp (x)

+ C2 \cdot \exp (x) \cdot \sin (2 x)

+ x

+ 1