factorise x^3-8
Let's factor in <math><mi>ℝ</mi></math>: <math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>8</mn></math> The (complex) solutions are: <math><msup><mrow><mn>8</mn></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac></mrow></msup><mo>·</mo><mi>exp</mi><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>·</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>·</mo><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo></math> for k from 0 to 2 <table class='signtable' width='100%'><thead><tr><td>k</td><td>Exponential solution</td><td>Transformed and simplified as</td></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td><math><mn>2</mn><mi>exp</mi><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>·</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mn>0</mn><mo>·</mo><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>2</mn></math></td><td><math><mn>2</mn><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo> + </mo><mi>i</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>2</mn></math></td></tr><tr><td>1</td><td><math><mn>2</mn><mi>exp</mi><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>·</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mn>1</mn><mo>·</mo><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>2</mn><mi>exp</mi><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>i</mi><mo>·</mo><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo></math></td><td><math><mn>2</mn><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo> + </mo><mi>i</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo>(</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo>)</mo><mo> = </mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mi>i</mi><mo>·</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math></td></tr><tr><td>2</td><td><math><mn>2</mn><mi>exp</mi><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>·</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>·</mo><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>2</mn><mi>exp</mi><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>i</mi><mo>·</mo><mn>4</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo></math></td><td><math><mn>2</mn><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo> + </mo><mi>i</mi><mo>·</mo><mi>sin</mi><mo>(</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo>)</mo><mo> = </mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo> -</mo><mi>i</mi><mo>·</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math></td></tr></tbody></table> In ℝ, factoring gives: <math><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>2</mn></math> Compute the quotient and remainder of <math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>8</mn></math> ÷ <math><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>2</mn></math> <table class='signtable' width='100%'><thead><tr><td><i>Current expression</i></td><td><i>Divide<br/>leading terms</i></td><td><i>Quotient</i</td><td><i>Quotient * divisor</i></td><td><i>Remainder after subtracting</i></td></tr></thead><tbody><tr><td><math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>8</mn></math></td><td><math><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math></td><td><math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math></td><td><math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo> = </mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>2</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math></td><td><math><mo>(</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>8</mn><mo>)</mo><mo> -</mo><mo>(</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>2</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>2</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>8</mn></math><tr><td><math><mn>2</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>8</mn></math></td><td><math><mfrac><mrow><mn>2</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math></td><td><math><mn>2</mn><mi>x</mi></math></td><td><math><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>2</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>4</mn><mi>x</mi></math></td><td><math><mo>(</mo><mn>2</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>8</mn><mo>)</mo><mo> -</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo> -</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>8</mn></math><tr><td><math><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>8</mn></math></td><td><math><mfrac><mrow><mn>4</mn><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math></td><td><math><mn>4</mn></math></td><td><math><mn>4</mn><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>8</mn></math></td><td><math><mo>(</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>8</mn><mo>)</mo><mo> -</mo><mo>(</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>8</mn><mo>)</mo><mo> = </mo><mn>0</mn></math></td></tr></tbody></table> Therefore, the result of the euclidean division is: <math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo> + </mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> + </mo><mn>4</mn></math> ▷<b>Answer: <math><mo>(</mo><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo> + </mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> + </mo><mn>4</mn><mo>)</mo></math></b><span style='font-size:smaller'> (processing: 11 steps, 12 ms)</span>
