0=x^2+x-1 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} + x - 1 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 1

c = -1

Δ = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)

Δ = 1 - 4 \cdot (-1)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-1)

4

Δ = 1 + 4

ⓘ On part de

1

et on avance de

4

sur la droite des nombres :

1 + 4

5

Δ = 5

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}

ⓘ On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 1 - \sqrt{5}

- (1 + \sqrt{5})

x_{1} = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}

▶Solutions obtenues :

x = {- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5} - 1}{2}}

2) La valeur numérique de :

x = {- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5} - 1}{2}}

vaut :

x = {\approx - \frac{1 + 2,2361}{2}; \approx \frac{2,2361 - 1}{2}}

x = {\approx - \frac{3,2361}{2}; \approx \frac{1,2361}{2}}

▷

x = {\approx -1,6180; \approx 0,6180}