1<|x-1|<= 3
1) On a les 2 conditions suivantes :
[1] : 1 < |x -1|
[2] : |x -1| ≤ 3
2) Résolvons en x : 1 < |x -1| [1]
|x -1| > 1
|A| > B veut dire que : A > B ou A < -B
x -1 > 1
ⓘ On ajoute 1 aux deux membres
x > 1 + 1
ⓘ On part de 1 et on avance de 1 sur la droite des nombres : 1 + 1 = 2
Solution trouvée [1] : x > 2
x -1 < -1
ⓘ On ajoute 1 aux deux membres
x < -1 + 1
ⓘ On part de -1 et on avance de 1 sur la droite des nombres, jusqu'à zéro : -1 + 1 = 0
Solution obtenue [1] : x < 0
3) Résolvons en x : |x -1| ≤ 3 [2] où x ∈ ]-∞ ; 0[ ∪ ]2 ; +∞[
|x -1| ≤ 3
|A| ≤ B équivaut à -B ≤ A ≤ B
-3 ≤ x -1 ≤ 3
On ajoute 1 aux trois membres de l'encadrement
-2 ≤ x ≤ 4
Solution trouvée [2] : x ∈ [-2 ; 4]
Créons le tableau des différentes solutions pour trouver la solution globale :
x-∞ -2 0 2 4 +∞
x ∈ ]-∞ ; 0[ ∪ ]2 ; +∞[✅✅✅❌❌❌✅✅✅
x ∈ [-2 ; 4]❌✅✅✅✅✅✅✅❌
Solution globale❌✅✅❌❌❌✅✅❌
L'intersection de x ∈ ]-∞ ; 0[ ∪ ]2 ; +∞[ et x ∈ [-2 ; 4] donne x ∈ [-2 ; 0[ ∪ ]2 ; 4]
▶Solution :   x ∈ [-2 ; 0[ ∪ ]2 ; 4]